解析几何中的定点、定值问题（含答案）

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解析几何中的定点和定值问题

【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不

变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用．

【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学方法】讨论式 【教学过程】 一、基础练习

1、过直线x?4上动点P作圆O：x2?y2?4的切线PA、PB，则两切点所在直线AB恒过一定点．此定点的坐标为_________． 【答案】(1,0)

yBPx

A4【解析】设动点坐标为P(4,t），则以OP直径的圆C方程为：x(x?4)?y(y?t)?0 ， 故AB是两圆的公共弦，其方程为4x?ty?4． 注：部分优秀学生可由x0x?y0y?r2 公式直接得出． ?4x?4?0令? 得定点(1,0).

y?0?2、已知PQ是过椭圆C:2x2?y2?1中心的任一弦，A是椭圆C上异于P、Q的任意一点．若

AP、AQ 分别有斜率k1、k2 ，则k1?k2=______________．

【答案】-2

【解析】设P(x,y),A(x0,y0)，则Q(?x,?y)

y0?yy0?yy02?y2k1?k2???，

x0?xx0?xx02?x222??2x0?y0?1又由A、P均在椭圆上，故有：?2， 2??2x?y?1 Word格式

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y02?y2??2 两式相减得2(x0?x)?(y0?y)?0 ，k1?k2?22x0?x2222x2y2??1，过右焦点F作不垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点， 3、椭圆3627AB的垂直平分线交x轴于N，则NF:AB等于_______.=

【答案】e1241 4【解析】

设直线AB斜率为k，则直线方程为y?k?x?3?,

与椭圆方程联立消去y整理可得3?4k2x2?24k2x?36k2?108?0,

??24k236k2?108则x1?x2?, ,x1x2?3?4k23?4k2所以y1?y2??18k, 23?4k?12k2?9k?,则AB中点为?. 22?3?4k3?4k??9k1?12k2????x?所以AB中垂线方程为y?, 22?3?4kk?3?4k??3k2?3k2N,0令y?0,则x?,即??, 23?4k23?4k??3k29(1?k2)?所以NF?3?. 223?4k3?4kAB?NF122??,所以1?kx?x?4xx??. ????12?12?3?4k2AB436?1?k2?x2y2４、已知椭圆2?2?1(a?b?0)，A,F是其左顶点和左焦点，P是圆x2?y2?b2

ab上的动点，若

PA=常数，则此椭圆的离心率是 PF Word格式

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【答案】e=【解析】 因为

5?1 2PA?常数，所以当点P分别在（±b，0）时比值相等， PF即a?ba+b2，整理得：b?ac， =b?cb+c222又因为b?a?c， 所以a?c?ac?0

2

2

22同除以a可得e+e-1=0，解得离心率e=二、典例讨论 例１、

5?1． 2x2y2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： ??1的左顶点为A，过原点O的直线（与

42坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点． 试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．

yMAOQN分析一：

设PQ的方程为y?kx，设点P?x0,y0?（x0?0），则点Q??x0,?y0?．

?y?kx,42联立方程组?2消去得． yx?22x?2y?41?2k? Word格式

Px

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所以x0?21?2k2，则y0?2k1?2k2．

所以直线AP的方程为y??2kx?2．从而 M0,???21?1?2k2?1?1?2kk?? ?同理可得点N?0,???． 2?1?1?2k?2k2所以以MN为直径的圆的方程为x?(y?2k1?1?2k22)(y?2k1?1?2k2)?0

整理得：x?y?(222k21?1?2k?2k1?1?2k)y?2?0

?x2?y2?2?0由?，可得定点F(?2,0) ?y?0分析二：

22设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得x0?2y0?4．由直线PA方程为：

y?y0??2y0?2y0?(x?2)，可得M?0,N0,?，同理由直线QA方程可得??，可得以MN为x0?2x?2x?200????2直径的圆为x??y???2y0??2y0??y?????0，

x0?2??x0?2??2y02y0?4y2??0 整理得：x?y???y?2x0?4?x0?2x0?2?2222由于x0?4??2y0，代入整理即可得x?y??22?4x0y0??y?2?0 2?x0?4?此圆过定点F(?2,0)． 分析三： 易证：kAPkAQb21??2??，

a2故可设直线AP斜率为k，则直线AQ斜率为?1. 2k Word格式