2017年高考数学(理)一轮复习专题06 函数的奇偶性与周期性(押题专练) 含解析

专题06 函数的奇偶性与周期性（押题专练） 2017年高考数学（理）一轮复习精品资料

1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是( ) A．y＝log2|x| 2－2C．y＝

2答案 A

解析 对于A，函数y＝log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于B，函数y＝cos2x2－22－x在区间(1,2)上不是增函数；对于C，函数y＝不是偶函数；对于D，函数y＝log2不22＋x是偶函数，故选A.

x－xB．y＝cos2x 2－xD．y＝log2 2＋xx－x?1?2

2．已知函数f(x)＝ln(1＋9x－3x)＋1，则f(lg2)＋f?lg?等于( )

?2?

A．－1B．0C．1D．2 答案 D

3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x，则f(2019)等于( ) A．－2 C．－98 答案 A

解析 ∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数，

∴f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．

又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×1＝－2， 即f(2019)＝－2.

4．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈∪∪上单调递增，求实数a的取值范围．

2

2

B．2 D．98

10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈时，f(x)＝2x－x.

(1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈时，求f(x)的解析式；

(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)． (1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)解 ∵x∈，∴－x∈， ∴4－x∈，

∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)＝－x＋6x－8， 又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x＋6x－8， 即f(x)＝x－6x＋8，x∈．

(3)解 ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＋f(2015)＝0.

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝f(2016) ＝f(0)＝0.

11．已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是( )

2

2

2

2

2

?5?A.?1，? ?3?5??B.?－∞，? 3??

C．(1,3) 答案 A

?5?D.?，＋∞? ?3?

ax＋1，－1≤x<0，??

12．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间上，f(x)＝?bx＋2

，0≤x≤1，??x＋1

其

?1??3?中a，b∈R.若f??＝f??，则a＋3b的值为________．

?2??2?

答案 －10

解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，

?3??1?所以f??＝f?－?， ?2??2?

?1??1?且f(－1)＝f(1)，故f??＝f?－?， ?2??2?

1b＋221从而＝－a＋1，

12＋12即3a＋2b＝－2.①

由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝即b＝－2a.②

由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.

13．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x－x，则函数y＝f(x)的图象在区间上与x轴的交点个数为________．

3

b＋2

2

，

答案 7

解析 因为当0≤x<2时，f(x)＝x－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间上与x轴的交点个数为7.

14．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在上是增函数，给出下列关于f(x)的结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在上是增函数；④f(x)在上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确结论的序号是________． 答案 ①②⑤

3

15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 解 (1)∵对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数．

证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f (－1)， 1

∴f(－1)＝f(1)＝0.

2

令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函数， ∴f(x－1)<2?f(|x－1|)