高中数学《离散型随机变量的均值与方差-2.3.1离散型随机变量的均值》教案2 新人教A版选修2-3

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?62000，有大洪水； X2=??2000,无大洪水.同样，采用第 3 种方案，有

?60000，有大洪水；?X3=?10000,有小洪水；

?0,无洪水.?于是，

EX1＝3 800 ,

EX2＝62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,

EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .

采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 .

值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．

例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数?的期望 解：∵P(??i)?1/6,i?1,2,???,6，

?E??1?1/6?2?1/6?????6?1/6=3.5

例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数?的期望（结果保留三个有效数字）

解：抽查次数?取1???10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前k?1次取出正品而第k次（k=1，2，?，10）取出次品的概率：

P(??k)?0.85k?1?0.15（k=1，2，?，10）

需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：P(??10)?0.85由此可得?的概率分布如下：

1 2 ?

93 0.1084

4 0.092

5 0.0783

6 0.0666

7 0.0566

8 0.0481

9 0.0409

10 0.2316

P 0.1

5 0.1275

根据以上的概率分布，可得?的期望

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E??1?0.15?2?0.1275?????10?0.2316?5.35

例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为

ξ 1 2 3 4 5 6

P 所以

1 61 61 61 61 61 6111111E??1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×

6666661＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．

6抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．

例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η

(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为

ξ 15 0.1 16 0.5 17 0.3 18 0.1 P 求所收租车费η的数学期望．

(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；

(Ⅱ)E??15?0.1?16?0.5?17?0.3?18?0.1?16.4 ∵ η=2ξ+2

∴ E??2Eξ+2=34.8 （元）

故所收租车费η的数学期望为34.8元．

(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5?(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 四、课堂练习：

1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以?表示取出球的最大号码，则E??（ ）

A．4； B．5； C．4.5； D．4.75 答案：C

2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的

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概率为0.7，求

⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．

解：⑴因为P(??1)?0.7，P(??0)?0.3，所以

E??1×P(??1)＋0×P(??0)?0.7

⑵η的概率分布为

η

0

1

2

10.32 C2?0.7?0.3 0.72

P 所以 E??0×0.09＋1×0.42＋2×0.98＝1.4． ⑶ξ的概率分布为

ξ ０ １ 2 3 P 0.33 21?0.72?0.3 C3?0.7?0.32 C30.73 所以 E??0×0.027＋1×0.189＋2×0.98＝2.1.

3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌

的个数为ξ，求ξ的数学期望．

分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是

1，事件“ξ=k”发生，即nm个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k),进而可求Eξ. 解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)= ∴ P(ξ=k)=Pn(k)=Ckn1． m1k1n－k)(1－)（k=0,1,2,?.,n）． mm11n ∴ ξ～B(n,)，故 Eξ =n×=

mmm五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ 公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np 六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A组1,2,3

1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答） 解：令取取黄球个数? (=0、1、2)则?的要布列为

? 0 1 2 第 7 页 共 10 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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3 10331于是 E（?）=0×+1×+2×=0.8

10510p 3 51 10故知红球个数的数学期望为1.2

2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用?表示得分数 ①求?的概率分布列 ②求?的数学期望

解：①依题意?的取值为0、1、2、3、4

2C41?=0时，取2黑 p(?=0)=2?

C9611C4?C31 ?=1时，取1黑1白 p(?=1)=?23C911C32C2?C411 ?=2时，取2白或1红1黑p(?=2)= 2+?36C92C911C3?C21?=3时，取1白1红，概率p(?=3)= ?26C92C21?=4时，取2红，概率p(?=4)= 2?

36C9

∴?分布列为

（2）期望E?=0×

? p 0 1 2 3 4 1 61 311 361 61 3611111114+1×+2×+3×+4×= 636363693.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知

各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望 解：设?表示产生故障的仪器数，Ai表示第i台仪器出现故障（i=1、2、3）

Ai表示第i台仪器不出现故障，则：

p(?=1)=p(A1·A2·A3)+ p(A1·A2·A3)+ p(A1·A2·A3)

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