2020高中数学 第三章 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案 新人教A版选修2-1

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→→→

分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以DC，DA，DD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．

→→

2．若AB＝(a，b，c)，则BA的坐标是多少？ →

提示：BA＝(－a，－b，－c)．

如图3-1-30，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N→→→

分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN，BA1，A1B的坐标．

图3-1-30

→→→

[思路探究] 以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，→→→→→

然后，把BN，BA1，A1B分别用CA，CB，CC1表示出来，再写出它们的坐标．

[解]

法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示．

→→→1→→→→→1→∴BN＝AN－AB＝CC1＋CA－CB＝CA－CB＋CC1，

22→

∴BN的坐标为(1，－1,1)， →→→→→→而BA1＝CA1－CB＝CA－CB＋CC1， →

∴BA1的坐标为(1，－1,2)．

→→→

又∵A1B＝－BA1，∴A1B的坐标为(－1,1，－2)．

法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)， →→→

∴BN＝(1，－1,1)，BA1＝(1，－1,2)，A1B＝(－1,1，－2)．

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[规律方法] 用坐标表示空间向量的步骤 [跟踪训练] 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图3-1-31所示建立空间直角坐标系．

图3-1-31

(1)写出各顶点的坐标； →→→

(2)写出向量EF，B1F，A1E的坐标．

[解] (1)由图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)， (2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点， 由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)．

→→→

所以EF＝(－2，－1，－1)，B1F＝(－2，－1，－2)，A1E＝(0,2，－1)．

[当 堂 达 标·固 双 基]

→→→

1．O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不能构成空间的一个基底，则( ) →→→

A．OA，OB，OC共线 →→

C．OB，OC共线

→→

B．OA，OB共线

D．O，A，B，C四点共面

→→→

D [由题意知，向量OA，OB，OC共面，从而O，A，B，C四点共面．] 2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( ) →

A．向量AB的坐标与点B的坐标相同 →

B．向量AB的坐标与点A的坐标相同 →→

C．向量AB与向量OB的坐标相同 →→→

D．向量AB与向量OB－OA的坐标相同

→→→

D [因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；由于AB＝OB－OA，故D正确．]

→→→→

3．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，

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y，z)为( )

【导学号：46342149】

?111?A．?，，? ?444??111?C．?，，? ?333?

→3→

A [如图，由已知OG＝OG1

4

?333?B．?，，? ?444??222?D．?，，? ?333?

3→→＝(OA＋AG1) 43→1→→＝[OA＋(AB＋AC)] 43

3→1→→→→＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)] 441→1→1→＝OA＋OB＋OC， 4441从而x＝y＝z＝.]

4

→

4．三棱锥P-ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以{BA，→

BC，BP}为基底，则MN的坐标为________．

→→

?1，0，－1? [ ?22???

→

MN＝BN－BM

1→→1→→＝(BA＋BC)－(BP＋BC) 221→1→＝BA－BP， 221?→?1

故MN＝?，0，－?.]

2??2

→→→

5．如图3-1-32所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，P是CA1的中点，M是CD1

→→

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的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：

图3-1-32

→→(1)AP；(2)AM.

[解] 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中连接AC，AD1，

→1→→(1)AP＝(AC＋AA1)

2

1→→→1

＝(AB＋AD＋AA1)＝(a＋b＋c)． 22→1→→(2)AM＝(AC＋AD1)

21→→→＝(AB＋2AD＋AA1) 211

＝a＋b＋c． 22