(完整版)整式的乘法与因式分解知识点及例题

（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 例：（1）8a3b2?12ab3c （2）75xy?35xy

2、公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式：

①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2

222例：（1）ab?0.25c （2）9(a?b)?6(b?a)?1

23524（3）ax?4axy?4xy （4）(x?y)?12(x?y)z?36z 练习：

1、若x?2(m?3)x?16是完全平方式，则m的值等于_____。 2、x?x?m?(x?n)则m=____n=____

32mn3、2xy与12xy的公因式是＿ 4、若x?y=(x?y)(x?y)(x?y)，则m=_______，n=_________。

62224222422222225、在多项式m?n,?a?b,x?4y,?4s?9t中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若x?2(m?3)x?16是完全平方式，则m=_______。

7、x?(_____)x?2?(x?2)(x?_____)8、已知1?x?x???x22222004222224224?x2005?0,则x2006?________.

2229、若16(a?b)?M?25是完全平方式M=________。10、x?6x??__??(x?3)， x??___??9?(x?3)

2211、若9x?k?y是完全平方式，则k=_______。12、若x?4x?4的值为0，则3x?12x?5的值是________。

2213、若x?ax?15?(x?1)(x?15)则a=_____。14、若x?y?4,x?y?6则xy?___。

222215、方程x?4x?0，的解是________。

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易错点：用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误； 分解因式不彻底。

中考考点解读：

整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面： 考点1、幂的有关运算

例1．（2009年湘西）在下列运算中，计算正确的是（ ） （A）a3?a2?a6 （C）a8?a2?a4

（B）(a)?a （D）(ab)?ab

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分析:幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算.幂的运算是整式乘除运算的基础,准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则.

解：根据同底数幂的乘法运算法则知a?a?a323?2?a5，所以（A）错；根据幂的乘方运算法则知

(a2)3?a2?3?a6，所以（B）错；根据同底数幂的除法法则知a8?a2?a8?2?a6，所以（C）错；故选（D）.

例2.（2009年齐齐哈尔）已知10?2，10?3，则10mn3m?2n?____________．

mnm?n分析:本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幂的乘法法则a?a?a乘的形式, 再逆用幂的乘方的法则(a)?a解： 103m?2nmnmn,将指数相加化为幂相

,将指数相乘转化为幂的乘方的形式,然后代入求值即可.

2（10n）?23?32?72. ?103m?102n?(10m)3?考点2、整式的乘法运算

1例3．（2009年贺州）计算：(?2a)?(a3?1) = ．

4分析:本题主要考查单项式与多项式的乘法运算.计算时，按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号的变化.

解：(?2a)?(a?1)＝(?2a)?考点3、乘法公式

例4. (2009年山西省)计算：?x?3???x?1??x?2?

分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项. 解： ?x?3???x?1??x?2?=x?6x?9?(x?2x?x?2)

22143131a?(?2a)?1＝?a4?2a. 4222=x?6x?9?x?2x?x?2=9x?7.

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22例5. (2009年宁夏)已知：a?b?3，ab?1，化简(a?2)(b?2)的结果是 ． 2分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形，使其出现（a?b）与ab，以便求值.

解：(a?2)(b?2)=ab?2a?2b?4=ab?2(a?b)?4=1?2?考点4、利用整式运算求代数式的值

例6．（2009年长沙）先化简，再求值：(a?b)(a?b)?(a?b)?2a，其中a?3，b??分析:本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用. 解：(a?b)(a?b)?(a?b)?2a ?a2?b2?a2?2ab?b2?2a2 ?2ab

当a?3，b??时，2ab?2?3??????2. 考点5、整式的除法运算

例7. (2009年厦门)计算：[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x

分析:本题的一道综合计算题,首先要先算中括号内的,注意乘法公式的使用,然后再进行整式的除法运算. 解：[(2x－y)( 2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x

＝(4x2－y2＋y2－6xy)÷2x ＝(4x2－6xy)÷2x

＝2x－3y. 考点6、定义新运算

例8.（2009年定西）在实数范围内定义运算“?”，其法则为：a?b?a?b，求方程（4?3）?x?24的解． 分析:本题求解的关键是读懂新的运算法则，观察已知的等式a?b?a?b可知，在本题中“?”定义的是平方差运算，即用“?”前边的数的平方减去 “?”后边的数的平方.

解：∵ a?b?a2?b2 ， ∴ (4?3)?x?(42?32)?x?7?x?72?x2． ∴ 72?x2?24． ∴ x2?25． ∴ x??5． 考点7、乘法公式

例3（1）(2009年白银市) 当x?3、y?1时，代数式(x?y)(x?y)?y的值是 ． （2）(2009年十堰市) 已知：a+b=3，ab=2，求a2+b2的值.

解析：问题（1）主要是对乘法的平方差公式的考查.原式=x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.问题（2）考查了完全平方公式的变形应用，∵(a?b)?a?2ab?b，∴a?b?(a?b)?2ab?3?2?2?5.

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2222222222223?4?2. 21． 313?1??3?2222说明：乘法公式应用极为广泛，理解公式的本质，把握公式的特征，熟练灵活地使用乘法公式，可以使运算变得简单快捷，事半功倍.

考点8、因式分解

例4（1）(2009年本溪市) 分解因式：xy?9x? ． （2）(2009年锦州市) 分解因式：ab-2ab+b=____________________.

解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征，如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解. （1）xy?9x? x (y 2-9)= x(y?3)(y?3)． （2）a2b-2ab2+b3= b(a2-2ab +b2) =b(a-b)2．

说明：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

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