近几年全国物理竞赛复赛力学

4.二、参考解答：

1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图：

y f1为地面作用于杆AB的摩擦力，N1为地

面对杆AB的支持力，f2、N2为杆AB作用于杆CD的摩擦力和支持力，N3、N4分别为墙对

D N4 ??B N3 E F N2 mg f2 mg C f1 N1 A x 杆AB和CD的作用力，mg为重力.取杆AB和

??O CD构成的系统为研究对象，系统平衡时, 由平

衡条件有

N4?N3?f1?0 （1） N1?2mg?0 （2）

以及对A点的力矩

11??mglsin??mg?lsin??lsin???N3lcos??N4?lcos??lcos??CF??0 22??即

31mglsin??mglsin??N3lcos??N4?lcos??lcos??CF??022

（3）

式中CF待求.F是过C的竖直线与过B的水平线的交点，E为BF与CD的交点．由几何关系有

CF?lsin?cot? （4）

取杆CD为研究对象，由平衡条件有

N4?N2cos??f2sin??0

（5）

N2sin??f2cos??mg?0 （6）

以及对C点的力矩

N4lcos??1mglsin??0 2（7）

解以上各式可得

N4?1mgtan? （8）

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

CD杆平衡的必要条件为

（14）

由（12）、（13）、（14）式得

（15）

AB杆平衡的必要条件为

2N?31sin?1tan?sin??3???2tan??2tan??cos??2sin???mg

f???3tan??2?sin?cos??1tan?sin??12sin???mgN1?2mg

N?12??sin??2tan?cos?????mg f?12??cos??2tan?sin?????mg f2??cN2tan??2??Csin??cos???Ccos??sin? f1??AN1

(16)

由（10）、（11）、（16）式得

tan?sin?2sin???4?A?3tan?sin?cos?（17）

因此，使系统平衡，?应满足的条件为（15）式和（17）式．

2．将题给的数据代入（15）式可得

??arctan0.385?21.1 (18)

将题给的数据代入（17）式，经数值计算可得

?

??19.5?(19)

因此，?的取值范围为

19.5??(20)

?

??21. 1

vC、弹簧来不及伸缩碰撞已结束. 设碰后A、C、D的速度分别为vA、5. 由于碰撞时间?t很小，vD，显然有

vD?2lvCr. (1)

以A、B、C、D为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒

mvD2l?mvCr?mvA2l?mv02l. (2)

由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间?t很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化. 故

由 (1)、(2)、(3) 式解得

12121212mvD?mvC?mvA?mv0. (3) 22224lr8l2r2vC?22v0,vD?22v0,vA??22v0 (4)

8l?r8l?r8l?r[代替 (3) 式，可利用弹性碰撞特点

v0?vD?vA.

(3’)

同样可解出(4). ]

设碰撞过程中D对A的作用力为F1?，对A用动量定理有

4l2?r2F1??t?mvA?mv0??222mv0, (5)

8l?r方向与v0方向相反. 于是，A对D的作用力为F1的冲量为

4l2?r2F1?t?222mv0 (6)

8l?r方向与v0方向相同.

以B、C、D为系统，设其质心离转轴的距离为x，则

x?mr?m2l2l?r.

?(??2)m??2(7)

质心在碰后瞬间的速度为 v?vC4l(2l?r)x?v0. r(??2)(8l2?r2)(8)

轴与杆的作用时间也为?t，设轴对杆的作用力为F2，由质心运动定理有 F2?t?F1?t????2?mv?4l(2l?r)mv0. 228l?r(9)

由此得

l?r) F2?t?r(22mv0. 228l?r(10)

方向与v0方向相同. 因而，轴受到杆的作用力的冲量为 F2??t??r(2l?r)2mv0, 228l?r(11)

方向与v0方向相反. 注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴. 但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.

[代替 (7)-(9) 式，可利用对于系统的动量定理

F2?t?F1?t?mvC?mvD. ]

[也可由对质心的角动量定理代替 (7)-(9) 式. ]

(2.) 值得注意的是，(1)、(2)、(3) 式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的. 如果弹簧的弹力恰好提供滑块C以速度vC?4lrv0绕过B的轴做匀速圆周运动的向心

8l2?r2