2019版高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布

第8节 条件概率与事件的独立性、正态分布

最新考纲 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.

知 识 梳 理

1.条件概率及其性质

条件概率的定义 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生条件概率公式 P（A∩B）P(B|A)＝，其中P(A)>0，A∩B称P（A）的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，为事件A与B的交(或积) 用符号“P(B|A)”表示 2.事件的独立性

(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，

B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.

(2)概率公式

条件 公式 A，B相互独立 A1，A2，…，An相互独立 P(A∩B)＝P(A)×P(B) P(A1∩A2∩…∩An) ＝P(A1)×P(A2)×…×P(An) 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验

①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.

②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

kn－kPn(k)＝Ck(k＝0，1，2，…，n). np(1－p)

(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cnpqkkn－k，其中k＝0，1，2，…，n.于是X的分布列：

… X P 0 Cnpq 00n11 Cnpqn－1… k Cnpqkkn－kn Cnpq nn0 … … 此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p). 4.正态分布

1

(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝（x－μ）

，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞). 2

2σ(2)正态曲线的性质

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值

σ

12π；

2

12π·σ

e－

④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ

1.运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立. 2.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件.( )

(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立.( ) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cnp(1－p)

kkn－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分

布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( )

(4)从装有3个红球，3个白球的盒中有放回地任取一球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布.( )

解析 对于(1)，相互独立事件的发生互不影响，而互斥事件是不能同时发生，故(1)错；对于(2)，只有当A，

B为相互独立事件时，公式P(AB)＝P(A)P(B)才成立；对于(4)，取到红球的个数X服从二项分布.

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

2.(教材练习改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A.

3 101B. 33C. 82D. 9

2

212×3

解析 设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)＝＝，P(AB)＝＝

10510×91

， 15

故P(B|A)＝答案 B

3.(2018·烟台调研)设袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，则6次取球中取出2个红球的概率为________.

20?2??1?2?2?解析 由题意得取出红球个数X服从二项分布，即X～B?6，?，所以P(X＝2)＝C6??·??＝.

?3??3??3?243答案

20

243

2

4

P（AB）1

＝.

P（A）3

11

4.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为.假定二人的行动相互之间没有影响，那

34么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________.

解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，两人均不去的概率为P(A B)

?1??1?1甲、

＝P(A)·P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝?1－??1－?＝，乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、

?3??4?2

11

乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P(A B)＝1－＝. 221答案 2

5.已知随机变量X服从正态分布N(0，8)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________. 解析 因为μ＝0，所以P(X>2)＝P(X<－2)＝0.023，所以P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954. 答案 0.954

考点一 条件概率

【例1】 (1)(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( ) 1A. 8

1B. 4

2C. 5

1D. 2

2

(2)(2018·河北“五个一”名校联盟二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭11

合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭

25合后出现红灯的概率为( ) A.

1

101B. 52C. 51D. 2

3

1

222C3＋C242C21P（AB）101

解析 (1)法一 P(A)＝2＝＝，P(AB)＝2＝.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝. C5105C510P（A）24

5法二 事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率P(B|A)＝

n（AB）1

＝. n（A）4

1

(2)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝，

21

1P（AB）52

P(AB)＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝＝＝.故选

5P（A）15

2C.

答案 (1)B (2)C

规律方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝

P（AB）

，这是求条件概率的通法.

P（A）

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝

n（AB）

. n（A）

【训练1】 (2018·包头调研)某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) 3A. 5

5B. 9

1 C. 10

2 D. 5

3

解析 第一次摸出新球记为事件A，则P(A)＝，

5C61

第二次取到新球记为事件B，则P(AB)＝2＝，

C1031

P（AB）35

∴P(B|A)＝＝＝. P（A）39

5答案 B

考点二 相互独立事件同时发生的概率

23

【例2】 (2018·哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安

35排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.

4

2