第三章 中值定理、导数的应用模板

作业：习题３－１

６ ７ ８ ９

１０ １１ １２ １４

第二节 洛必达（L?Hospital）法则

17

若在x的某一个变化过程中，函数f(x)与g(x)同时趋于0

或同时趋于?，这时极限x?limf(x)a(?)g(x)可能存在，?通常把这种极限称为00型或?型的不定式．

2如:limx?1x?1x?1?2.limx?1x?1(x?1)2??.

x?1x3lim?1x??x2?1?0.limx??x?1??. 18

也可能不存在，

一、0型不定式

定理：设函数f(x)与F(x)满足：（１）在点a的某去心邻

limf(x)?0,limF(x)?0;?U(a)F(x)?0;域内可导且（２）x?a（３）x?a00f(x)f?(x)limlimx?aF?(x)存在（或?）．则x?aF(x)也存在（或?）且

f(x)f?(x)lim?lim.x?aF(x)x?aF?(x)

x?xcosx(1)lim【例】计算：x?0x?sinx

19

sinx?sinx?xcosx1?cosx?xsinx?lim?lim提示：原式x?0 x?0sinx1?cosxxcosx?2?limx?0sinx?3.

x?sinx(2)lim3 x?0x1?cosxsinx?lim?lim2提示：原式x?03xx?06x

001?. 6注：(1)此法则对于x??时的型亦适用．

20