初中数学沪科版八年级下册16.2.2 第2课时 二次根式的混合运算教案 教学设计

16.2.2二次根式的加减

第1课时 二次根式的混合运算

教学目标

1．了解二次根式的混合运算顺序；

2．会进行二次根式的混合运算．(重点、难点)

教学过程

一、情境导入

如果梯形的上、下底边长分别为22cm，43cm，高为6cm，那么它的面积是多少？ 毛毛是这样算的：

1

梯形的面积：(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋

2218＝23＋62(cm2)．

他的做法正确的吗？ 二、合作探究

探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的混合运算

计算：

(1)48÷3－(2)

1÷21×12＋24； 2

42

×－50. 33解析：(1)先算乘除，再算加减；(2)先计算第一部分，把除法转化为乘法，再化简． 解：(1)原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6； (2) 原式＝9

－2. 2

方法总结：二次根式的混合运算与实数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的．

【类型二】 运用乘法公式进行二次根式的混合运算 计算：

(1)(5＋3)(5－3)；

(2)(32－23)2－(32＋23)2.

解析：(1)用平方差公式计算；(2)逆用平方差公式计算．

解：(1)(5＋3)(5－3)＝(5)2－(3)2＝5－3＝2；

(2)(32－23)2－(32＋23)2＝(32－23＋32＋23)(32－23－32－23)＝－246.

方法总结：多项式的乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用，计算时应先观察式子的特点，能用乘法公式的用乘法公式计算．

【类型三】 二次根式的化简求值 1323××－52＝243

32622

×3－52＝×3－52＝－52＝ 83432

x＋xyxy－y

先化简，再求值：＋(x>0，y>0)，其中x＝3＋1，y＝3－1.

xy＋yx－xy

解析：首先根据约分的方法和二次根式的性质进行化简，然后再代值计算． 解：原式＝

x（x＋y）y（x－y）xyx＋y

＋＝＋＝.

y（x＋y）x（x－y）yxxy23∵x＝3＋1，y＝3－1，∴x＋y＝23，xy＝3－1＝2，∴原式＝＝6.

2

方法总结：在解答此类代值计算题时，通常要先化简再代值，如果不化简，直接代入，虽然能求出结果，但往往导致烦琐的运算．化简求值时注意整体思想的运用．

【类型四】 二次根式混合运算的应用 一个三角形的底为63＋22，这条边上的高为33－2，求这个三角形的面积． 解析：根据三角形的面积公式进行计算．

11

解：这个三角形的面积为(63＋22)(33－2)＝×2×(33＋2)(33－2)＝

22(33)2－(2)2＝27－2＝25.

方法总结：根据题意列出关系式，计算时注意观察式子的特点，选取合适的方法求解，能应用公式的尽量用公式计算．

探究点二：二次根式的分母有理化 【类型一】 分母有理化 计算：

215＋12(1)；

2(2)

3－23＋2＋. 3＋23－2

3－2的分子、分母同乘以3－3＋2

解析：(1)把分子、分母同乘以2，再约分计算；(2)把2，把

3＋2的分子、分母同乘以3＋2，再运用公式计算． 3－2215＋12（215＋12）×2230＋26

解：(1)＝＝＝30＋6；

222×23－23＋2（3－2）2（3＋2）25－26

(2)＋＝＋＝

3－23＋23－2（3＋2）（3－2）（3－2）（3＋2）5＋26＋＝5－26＋5＋26＝10.

3－2

方法总结：把分母中的根号化去就是分母有理化，分母有理化时，分子、分母应同乘以一个适当的式子，如果分母只有一个二次根式，则乘以这个二次根式，使得分母能写成a·a的形式；如果分母有两项，分子、分母乘以一个二项式，使得能运用平方差公式计算．如分母是a＋b，则分子、分母同乘以a－b.

【类型二】 分母有理化的逆用 比较15－14与14－13的大小

解析：把15－14的分母看作“1”，分子、分母同乘以15＋14；把14－13的分母看作“1”，分子、分母同乘以14＋13，再根据“分子相同的两个正分数比较大小，分母大

的反而小”，得到它们的大小关系．

解：

15－

14＝

（15－14）（15＋14）

＝

15＋141

，

15＋1414－

13＝

（14－13）（14＋13）1

＝.∵15＋14＞14＋13＞0，

14＋1314＋1311∴＜即15－14＜14－13.

15＋1414＋13方法总结：把分母为“1”的式子化为分子为“1”的式子，根据分母大的反而小可以比较两

个数的大小．

三、板书设计

教学反思

二次根式的混合运算可类比整式的运算进行，注意运算顺序，最后的结果应化简．引导学生勇于尝试，加强训练，从解题过程中发现问题，解决问题．本节课的易错点是运算错误，要求学生认真细心，养成良好的习惯