行程问题--环形跑道问题

第七讲环形跑道问题

一． 知识点总结

基本公式：路程=速度×时间；

路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

关键问题：确定运动过程中的位置和方向。 相遇问题（相向）：相遇时间=路程和÷速度和 追及问题（同向）：追及时间＝路程差÷速度差

注：不只是追及问题中我们用路程差÷速度差=追及时间，实际在很多两人同时行进一段时间，不同的速度必然会造成路程不同，我们都可以用这个公式： 路程差÷速度差=所行时间。

环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈。这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

1 、相遇问题：题型特点：甲、乙两人同时从同地反向出发。

解题规律：两人相遇时一起走一圈（跑道周长） 。之后每见面一次，就一起走 1 圈； 见面 n 次，两人一起走 n 个周长。

2 、 追及问题：题型特点：甲、乙两人同时从同地同向出发。

解题规律：开始出发时由于速度不同两人之间的距离会越来越远，之后快的会 追上慢的，此时快的人比慢的人多走 1 圈（路程差为跑道周长） 。 之后每追上一次，就多走 1 圈；

追上 n 次，快的就比慢的多走 n 个 周长。 二． 做题方法：

（1）审题：看题目有几个人或物参与；

看题目时间：“再过多长时间” 就是从此时开始计时，“多长时间 后”就是从开始计时 看地点是指是同地还是两地甚至更多。

看方向是同向、背向还是相向

看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断。

追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差。比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差。这个是追击问题经常用到的，同过路程差求速度差 。

（2）简单题利用公式

(3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来。相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差

三． 例题解析

1. 直接利用公式型

竞赛班例题1（尖子班例题1）：在300米的环形跑道上，如果同向而跑快者2分30秒追上慢者，如果背向而跑两者半分钟相遇，求两人的速度。

解析：注意如果题目没有第几次追上或相遇，都默认为是第一次追上或相遇。 “第几次追上就多跑几圈”，快者第一次追上慢者，就是比慢者多跑一圈，即用2分30秒比慢者多跑300米， 那么快比慢1秒钟多跑（速度差）：300÷150=2米 “第几次相遇就合跑几圈”，第一次相遇就合跑一圈，即用半分钟合跑300米，1秒钟两人合跑（速度和）：300÷30=10米 慢者：（10-2）÷2=4米／秒 快者：4+2=6米／秒 “和差算法”： 小的数=（和-差）÷2 大的数=（和+差）÷2

竞赛班学案1：在环形跑道上，两人背靠背跑，每隔4分钟相遇一次：同向跑每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道周长1600米，求两人的速度？ 解析：两人速度差1600÷20=80米／分 两人速度和1600÷4=400米／分 慢者：（400-80）÷2=160米／分 快者：160+80=240米／分

竞赛班例题3：幸福村小学有一条长200米的环形跑道，铮铮和包包同时从起跑线起跑，铮铮每秒钟跑6米，包包每秒钟跑4米，问铮铮第一次追上包包时两人各跑多少米，第2次追上包包时两人各跑多少圈？

解析： （1）铮铮第一次追上包包，总共比包包多跑一圈，而1秒钟铮铮比包包多跑6-4=2米，那么得有多少秒能多跑一圈200你呢？200÷（6-4）=100秒 注：熟了之后直接用公式路程差÷速度差=所行时间 铮铮：6×100=600米 包包：4×100=400米或600-200=400米 （2）笨方法：铮铮第二次追上包包，总共比包包多跑二圈，而1秒钟铮铮比包包多跑6-4=2米，那么得有多少秒能多跑二圈400你呢？400÷（6-4）=200秒。铮铮：6×200=1200米 1200÷200=6圈 包包：4×200=800米 800÷200=4圈

聪明方法：第一问求出铮铮第一次追上包包时两人的路程， 直接铮铮：600÷200=3圈 3×2=6圈 包包：6-2=4圈

竞赛班例题2（尖子班例题2）：环形公路长2400米，铮铮和微微同时从同一地点出发，微微骑一圈需要10分钟，如果第一次相遇时微微骑了1440米。问铮铮骑一圈的时间？再过多久他们第二次相遇？ 解析：（1）微微骑一圈需要10分钟，可知微微的速度2400÷10=240米／分 第一次相遇时微微骑了1440米，可知相遇时间1440÷240=6分钟 第一次相遇时两人合跑一圈2400米，铮铮骑2400-1440=960米 铮铮速度960÷6=160米／分 铮铮骑一圈的时间2400÷160=15分钟 （2）“再过多久”，指从第一次相遇开始计时，每隔6分钟相遇一次。所以答案还是6