2019年湖南省衡阳市中考数学试题免费下载(word档含答案解析)

m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方

案．

【解答】解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元， 依题意，得：解得：x＝5，

经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意， ∴x+10＝15．

答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元． （2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个， 依题意，得：解得：15≤m≤16． ∵m为整数， ∴m＝15或16．

∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

25．（10分）如图，二次函数y＝x+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E． （1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2

＝，

，

【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）设OP＝x，则PB＝3﹣x，由△POE∽△CBP得出比例线段，可表示OE的长，利用二次函数的性质可求出线段OE的最大值；

（3）过点M作MH∥y轴交BN于点H，由S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝

2

即可求解．

【解答】解：（1））∵抛物线y＝x+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）， 把A、B两点坐标代入上式，解得：

，

2

，

故抛物线函数关系表达式为y＝x﹣2x﹣3； （2）∵A（﹣1，0），点B（3，0）， ∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，

∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥BE， ∴∠OPE+∠CPB＝90°， ∠CPB+∠PCB＝90°， ∴∠OPE＝∠PCB， 又∵∠EOP＝∠PBC＝90°， ∴△POE∽△CBP， ∴

，

设OP＝x，则PB＝3﹣x， ∴∴OE＝∵0＜x＜3，

，

，

∴时，线段OE长有最大值，最大值为． ．

即OP＝时，线段OE有最大值．最大值是（3）存在．

如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，

∵抛物线的解析式为y＝x﹣2x﹣3，∴x＝0，y＝﹣3， ∴N点坐标为（0，﹣3）， 设直线BN的解析式为y＝kx+b， ∴∴

， ，

2

∴直线BN的解析式为y＝x﹣3， 设M（a，a﹣2a﹣3），则H（a，a﹣3）， ∴MH＝a﹣3﹣（a﹣2a﹣3）＝﹣a+3a， ∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝∵

，

，此时M点的坐标为（

）．

＝

＝

，

2

2

2

∴a＝时，△MBN的面积有最大值，最大值是

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．

26．（12分）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀

速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE． （1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； （3）求DE的长；

（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．

【分析】（1）当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题． （2）如图1中，连接BF交AC于M．证明EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题． （3）证明DE＝AC即可解决问题．

（4）如图3中，连接AM，AB′．根据AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，

∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°， ∴6+t＝2（6﹣t）， ∴t＝3，

∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．

（2）存在．

理由：如图1中，连接BF交AC于M．