重庆市巴蜀中学2015-2016学年高一数学上学期期末试题（含解析）

【专题】综合题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．

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【分析】令2=t（t＞0），可得t+mt+m﹣1=0有正根，分类讨论，即可求实数m的取值范围．

x22

【解答】解：令2=t（t＞0），可得t+mt+m﹣1=0有正根，

①有两个正根，，∴﹣≤m＜﹣1；

②一个正根，一个负数根，m﹣1＜0，∴﹣1＜m＜1；

2

③m=﹣1时，t﹣t=0，t=0或1，符合题意， 综上所述，﹣

≤m＜1．

2

故选：B．

【点评】本题考查根的分布，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

11．设函数f（x）=

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，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，

满足f（f（x））=2ay+ay，则正实数a的最小值是（ ） A．

B．

C．2

D．4

【考点】分段函数的应用．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞1时，才会存在一一对应．

【解答】解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，

x

又∵f（x）=2，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R， ∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，

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要想f（f（x））=2ay+ay，在y∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，

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必有f（f（x））＞1 （因为2ay+ay＞0）， 所以：f（x）＞2， 解得：x＞4，

当 x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，

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∴2ay+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0， 所以有：（2ay﹣1）（ay+1）＞0， 解得：y＞∴∴a

≤2， ，

或者y＜﹣（舍去），

故选：A

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【点评】本题主要考查了分段函数的应用，本题关键是可以把2ay+ay当作是一个数，然后在确定数的大小后再把它作为一个关于y的函数．

22

12．若函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）没有零点，则a+b的取值范围是（ ） A．[0，1） B．[0，π） C．

2

22

D．[0，π）

【考点】函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用． 【专题】转化法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质． 【分析】先假设函数存在零点x0，得出方程：

sin（x0+φ）=2kπ+

，再根据三

角函数的性质得出结果．

【解答】解：假设函数f（x）存在零点x0，即f（x0）=0， 由题意，cos（asinx0）=sin（bcosx0）， 根据诱导公式得：asinx0+bcosx0=2kπ+即，

sin（x0+φ）=2kπ+

，

（k∈Z），

|min，

要使该方程有解，则即，所以，a+b≥

2

2

≥|2kπ+

≥（k=0，取得最小）， ，

2

2

因此，当原函数f（x）没有零点时，a+b＜所以，a+b的取值范围是：[0，

2

2

，

）．

故答案为：C．

【点评】本题主要考查了函数零点的判定，涉及三角函数的诱导公式，辅助角公式，方程有解条件的转化，以及运用假设的方式分析和解决问题，属于难题．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数f（x）=

的定义域为 {x|x≥1或x≤0} ．

【考点】函数的定义域及其求法．

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可． 【解答】解：由题意得：

x（x﹣1）≥0，解得：x≥1或x≤0，

故函数f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤0}， 故答案为：：{x|x≥1或x≤0}．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．

14．函数y=|x﹣2|﹣|x+1|的取值范围为 [﹣3，3] ．

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