专题28++快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧-名师揭秘2019高考数学(理)【2020高考资料夹】

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【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）由，得，

所以，半径为4.

因为线段的中垂线与交于点，所以，所以.

所以点的轨迹是以，为焦点，且长轴长为的椭圆，所以.

所以点的轨迹的方程为.

（Ⅱ）设直线，，.

联立化简整理得，所以，.

因为，

，

所以

.

当，即时，取定值.

千里之行 始于足下

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练习3.已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.

当

轴时，

.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为椭圆的上顶点，证明为定值.

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】（1）由可得，所以，即，从而椭圆．

当轴时，，由，不妨取，，

代入椭圆，得，故椭圆．

（2）依题意，．当的斜率存在时，设，，，

将代入的方程，得，

当时，，．

，因为，，

所以 ．

由（1）得，当的斜率不存在时，，，

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所以

（八）定点定值综合

．综上，．

例8. 已知椭圆，离心率，过点的动直线与椭圆相交于，两点.

当

轴时，

.

（1）求椭圆的方程；

（2）轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.

【答案】（1）（2）答案见解析.

（2）假设存在

满足题设．

当的斜率存在时，设， ， ，

将代入的方程，得，

当时， ，．

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，

因为， ，

所以

．

所以当时，．

由（1）得，当的斜率不存在时， ， ，

所以．

综上，存在定点，使得．

练习1. 已知圆（1）求曲线的方程；

，圆过点且与圆相切，设圆心的轨迹为曲线．

（2）点判断直线

，为曲线上的两点（不与点重合），记直线的斜率分别为，若，请

是否过定点. 若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．

【答案】（1） (2)见解析

【解析】（1）设圆C的半径为r，依题意，|CB|＝r，|CD|＝4－r， 进而有|CB|＋|CD|＝4，所以圆心C的轨迹是以D，B为焦点的椭圆，

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