专题28++快速解决直线与圆锥曲线综合问题解题技巧-名师揭秘2019高考数学(理)【2020高考资料夹】

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在椭圆上，代入椭圆方程整理得，解得无解，

故不存在这样的点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立．

练习1．已知椭圆（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点

的离心率为，短轴长为4.

作两条直线，分别交椭圆于两点（异于），当直线，的斜率之和为4时，直线

恒过定点，求出定点的坐标.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（Ⅰ）由题意知：，，.

解得，，，所以椭圆方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线方程为，，.

由，得，

联立，消去得，由题意知二次方程有两个不等实根，

∴，.

代入得，整理得.

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千里之行 始于足下

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∵，∴，∴，，所以直线恒过定点.

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中，∴.由

，得

∴当直线

的斜率不存在时，直线

恒过定点

也过定点.

，∴.

.

综上所述，直线

练习2.已知椭圆：（1）求椭圆的标准方程； （2）设过点为直线

过点，且离心率为.

的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：

恒过定点，并求该定点的坐标.

【答案】（1） (2)见证明

【解析】（1）由题意知，，解得，

则椭圆的方程是.

（2）设，，则

，

，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，

则直线的方程为：

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由，得，

所以，，

直线的方程为：，

所以，

令，则

与轴交于定点

.

，

所以直线

练习3.已知点和直线，为曲线上一点，为点到直线的距离且满足.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点作曲线的两条动弦，若直线斜率之积为，试问直线是否一定经过一定点？

若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.

【答案】（1）【解析】（1）设点

（2）见解析 为曲线上任一点，

则依题意得：，

化简得：曲线的轨迹方程为：.

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（2）一定经过一定点.

设，当直线的斜率不存在时，设的方程为，

则：，，不合题意.

故直线的斜率存在，设直线的方程为，并代入椭圆方程，

整理得：，①

由，得：.②

设，则是方程①的两根，由根与系数的关系得：

，，由

得：，

即，

整理得：此时直线

的方程为

，又因为

.所以直线

，所以，

.

恒过一定点

练习4.已知椭圆（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点时，直线

的离心率为，短轴长为4.

作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

，的斜率之和为定值

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