高中数学必修五教案-等比数列的概念及通项公式示范新

师 引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答生 探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答［教师精讲］

概括总结对上述问题的探究，得出：

(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列概括学生对(2)(3)(4)的解答

(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的

(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同； (4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同； (5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同

(探究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件；为等比数列的通项公式的推导做准备［合作探究］

师 回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？ 生 推导等比数列的通项公式［方法引导］

师 让学生与等差数列的推导过程类比，并引导学生采用不完全归纳法得出等比数列的通项公式

具体的，设等比数列{an}首项为a1，公比为q，根据等比数列的定义，我们有：

a2=a1q,a3=a2q=a1q2,…,an=a n-1q=a1q n-1，

即an=a1q

n-1

师 根据等比数列的定义，我们还可以写出

aa2a3a4???...?n?qa1a2a3an?12

3

n-1

进而有an=an-1q=a n-2q=a n-3q=…=a1q亦得

an=a1qn-1

师 观察一下上式，每一道式子里，项的下标与q的指数，你能发现有什么共同的特征吗？

生 把an看成anq，那么，每一道式子里，项的下标与q的指数的和都是n0

师 非常正确，这里不仅给出了一个由an倒推到an与a1，q的关系，从而得出通项公式的过程，而且其中还蕴含了等比数列的基本性质，在后面我们研究等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式

师 请同学们围绕根据等比数列的定义写出的式子

aa2a3a4???...?n?q,再思考 a1a2a3an?1aaaa如果我们把上面的式子改写成2?q,3?q,4?q,...,n?qa1a2a3an?1an?qn?1,于是，得an=a1q n-1a1

那么我们就有了n-1个等式，将这n-1个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是

师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？

师 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明师 让学生说出公式中首项a1和公比q的限制条件生 a1，q都不能为［知识拓展］

师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？

教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.

某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x,本利和为y元.

（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；

（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.

师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的

生 比较两种方法，思考它们的异同［教师精讲］

通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来. (1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an=2你发现了什么？

n-1

的数列的图象和函数y=2的图象，

x-1

(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an?()的图象，你又发现了什么？

12n?1的数列的图象和函数y=(

1x-1

)2生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.

师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象

观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点

师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格： 定 义 等差数列 从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数 首项、公差(公比)取值有无限制 通项公式 相应图象的特点 ［例题剖析］

【例1】 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？

师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系

【例2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？

师 将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，可知a1=1;a2=a1×

没有任何限制 等比数列 从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数 首项、公比都不能为0 an=a1+(n-1)d 直线y=a1+(x-1)d上孤立的点 an=a1q n-1 函数y=a1q图象上孤立的点 x-111;a3=a2×22

于是，可得递推公式

?a1?1,??1a?an?1(n＞1)n?2?由于

an1?，因此，这个数列是等比数列an?12

生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式练习：

1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项师 启发、引导学生列方程求未知量生 探究、交流、列式、求解2.课本第59页练习第1、2题课堂小结

本节学习了如下内容： 1.等比数列的定义

2.等比数列的通项公式

3.等比数列与指数函数的联系布置作业

课本第60页习题2.4 A组第1、2题板书设计

等比数列的概念及通项公式 1.等比数列的定义2.等比数列的通项公式

实例剖析 从三个角度类比等差数列表例1 练习：1.(学生板演) 例2