2019版立体几何初步1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论练习新人教B版

1.2.1 平面的基本性质与推论

1.若点A在平面α内,直线a在平面α内,点A不在直线a上,用符号语言可表示为( A ) (A)A∈α,a?α,A?a (B)A∈α,a∈α,A?a (C)A?α,a?α,A?a (D)A∈α,a?α,A?a

解析:点与线、面的关系用∈、?;线与面的关系用?、?.B项中, “a∈α”错;C项中“A?α”错;D项中“A?a”错. 故选A.

2.如图,正方体ABCDA1B1C1D1,E,F分别为棱A1B1,BB1的中点,则D1E与CF的延长线交于一点,此点在直线( B )

(A)AD上 (B)B1C1上 (C)A1D1上 (D)BC上

解析:由平面基本性质知:D1E与CF的交点在平面A1B1C1D1上,也在平面BB1C1C上,故交点在两平面的交线B1C1上.

3.下列推断中,错误的是( C ) (A)A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α (B)A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB (C)l?α,A∈l?A?α

(D)A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线?α,β重合

解析:选项A即为直线l上有两点在平面内,则直线在平面内;选项B即为两平面的公共点在公共直线上;选项D为不共线的三点确定一个平面,故D也对.选C.

4.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与HG交于点M,那么( A )

(A)M一定在直线AC上 (B)M一定在直线BD上

(C)M可能在直线AC上,也可能在直线BD上 (D)M既不在直线AC上,也不在直线BD上

解析:点M一定在平面ABC与平面CDA的交线AC上.选A.

5.不共线三点A,B,P且P?平面α,AP∩α=A1,BP∩α=B1,AB∩α=O,当点P在空间中变动时,定点O与动直线A1B1的位置关系是 . 解析:由题意知平面ABP∩α=A1B1,AB∩α=O, 所以O∈平面ABP,且O∈α,所以O∈A1B1. 答案:O∈A1B1

6.根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A∈α,B?α;(2)l?α,m∩α=A,A?l;(3)P∈l,P?α, Q∈l,Q∈α.

解:(1)点A在平面α内,点B不在平面α内,如图(1);

(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上,如图(2); (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q,如图(3).

7.如图,已知直线AB和AC都在平面α内,直线BC与直线AB,AC分别相交于B,C两点,试判断直线BC与平面α的位置关系.

解:因为AB∩BC=B,所以B∈AB?α,即B∈α; 同理,AC∩BC=C,

所以C∈AC?α,即C∈α,

即直线BC上有两点B,C在平面α内, 由基本性质1,得直线BC?平面α.

8.已知m,n为异面直线,m?平面α,n?平面β,α∩β=l,则l( B ) (A)与m、n都相交

(B)与m、n中至少一条相交

(C)与m、n都不相交 (D)与m、n中的一条相交

解析:假设m,n都不与l相交,由m?α,n?β得:m∥l,n∥l,所以

m∥n∥l.这与m,n为异面直线矛盾,因此结合图形可得l与m,n至少一条相交,故选B. 9.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是 .

解析:把平面图形还原为正方体如图所示.观察图形,可知:BM与ED是异面直线,CN与BE是平行直线,故①③错误.

答案:②④

10.正方体ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点,那么过P、Q、R的截面图形是 .

解析:如图所示,取C1D1中点E,连接RE,则RE所以P、Q、E、R共面. 记这个平面为α,

延长QP与CB,延长线交于M, 连接MR,交B1B于F,则F∈α. 由平面几何知识得F是B1B的中点, 同理D1D的中点G∈α, 连接PF,QG,GE,

PQ,

则正六边形EGQPFR就是截面图形,如图所示.

答案:正六边形

11.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD= P,A1C1∩EF=Q.

求证:(1)D,B,F,E四点共面;

(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.

证明:(1)如图.连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.

(2)正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,又设平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β. 则Q是α与β的公共点,同理P是α与β的公共点, 所以α∩β=PQ.

又A1C∩β=R,所以R∈A1C. 所以R∈α,且R∈β,则R∈PQ. 故P,Q,R三点共线.

12.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为8 cm,M,N,P三点分别是AB,A1D1,BB1的中点.