2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题4-3：三角函数的图象与性质（练）

ππ?π

3.(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间??4，2?单调递增的是( ) 2A．f(x)＝|cos 2x| C．f(x)＝cos|x| 【答案】A

ππ?ππ

，时，2x∈?，π?，函数f(x)单调递增，故A正确；函数【解析】函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈??42??2?2ππ?ππ

，时，2x∈?，π?，函数f(x)单调递减，故B不正确；函数f(x)＝cos|x|f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈??42??2?2

?sin x，x≥0，?

＝cos x的周期为2π，故C不正确；f(x)＝sin|x|＝?由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)

?－sin x，x<0，?

B．f(x)＝|sin 2x|

D．f(x)＝sin|x|

均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确，故选A。 4. (2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( ) π

A. 4

πB. 2

3π

C. D．π 4【答案】A

πx＋?， 【解析】f(x)＝cosx－sinx＝2cos??4?ππ

由题意得a＞0，故－a＋＜，

44

π

x＋?在[－a，a]是减函数， 因为f(x)＝2cos??4??

?所以?π

a＋≤π，4??a＞0，

π

－a＋≥0，

4

π

解得0＜a≤，

4

π

所以a的最大值是，故选A。

4

5.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B

cos 2x＋135

【解析】易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当

2222x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4。 6.(2018·北京卷)已知函数f(x)＝sin2x＋3sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期；

π3

－，m?上的最大值为，求m的最小值. (2)若f(x)在区间??3?2113

【解析】(1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x

222π1

2x－?＋. ＝sin?6?2?

所以f(x)的最小正周期为T＝

2π

＝π. 2

π12x－?＋. (2)由(1)知f(x)＝sin?6?2?π

由题意知－≤x≤m，

35πππ所以－≤2x－≤2m－. 666

π3

－，m?上的最大值为， 要使得f(x)在??3?2ππ

2x－?在?－，m?上的最大值为1. 即sin?6??3??πππ所以2m－≥，即m≥.

623π

故实数m的最小值为。

3

7. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B

1－cos 2x35【解析】∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，

222∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4，故选B。

π

x＋?，则下列结论错误的是( ) 8.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos??3?

A.f(x)的一个周期为－2π B.y＝f(x)的图象关于直线x＝π

C.f(x＋π)的一个零点为x＝

6π?

D.f(x)在??2，π?单调递减 【答案】D

【解析】因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；因为f(x)图象的对称4ππ8ππ

x＋?，将x＝代轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，当k＝3时，直线x＝是其对称轴，B项正确；f(x＋π)＝cos??3?3367π?3ππ?x＋π?的递减区间为入得到f?＝cos＝0，所以x＝是f(x＋π)的一个零点，C项正确；因为f(x)＝cos?6??3?26

8π

对称 3

?2kπ－π，2kπ＋2π? (k∈Z)，递增区间为?2kπ＋2π，2kπ＋5π? (k∈Z)，所以?π，2π?是减区间，?2π，π?是增

33?33????23??3?

区间，D项错误。

3?0，π??的最大值是________． 9. (2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cos x－?x∈

4??2??313

【解析】依题意，f(x)＝sin2x＋3cos x－＝－cos2x＋3cos x＋＝－?cos x－?2＋1，

442??π

0，?，所以cos x∈[0,1]， 因为x∈??2?因此当cos x＝【答案】1

10.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________。 【解析】f(x)＝2cos x＋sin x＝5?＝5sin(x＋α)(其中tan α＝2)，

故函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为5. 【答案】5

255?cos x＋sin x

5?5?

3时，f(x)max＝1. 2