高三数学概念、方法、题型、易误点总结03

高三数学概念、方法、题型、易误点总结（三）

班级 姓名

三、数 列

1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，?，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

如（1）已知an

（2）数列{an}的通项为an

（3）已知数列{an}中，an

（4）一给定函数满足an?1

A B C D

2.等差数列的有关概念：

（1）等差数列的判断方法：定义法an?1?an如设{an}是等差数列，求证：以bn=

（2）等差数列的通项：an?n*(n?N)，则在数列{an}的最大项为__ ； 2n?156?an，其中a,b均为正数，则an与an?1的大小关系为___；

bn?1?n2??n，且{an}是递增数列，求实数?的取值范围；

y?f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1?(0,1)，由关系式an?1?f(an)得到的数列{an} （ ）

?an(n?N*)，则该函数的图象是

或an?1?an?an?an?1(n?2)。 ?d(d为常数）a1?a2???an n?N*为通项公式的数列{bn}为等差数列。

n?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。

如(1)等差数列{an}中，a10?30，a20?50，则通项an? ；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；

n(a1?an)n(n?1)d。 ，Sn?na1?221315*如（1）数列 {an}中，an?an?1?(n?2,n?N)，an?，前n项和Sn??，则a1＝＿，n＝ ；

2222（2）已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n，求数列{|an|}的前n项和Tn.

（3）等差数列的前n和：Sn?

a?b。 2提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d（4）等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且

A?称作为基

本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）；偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（公差为2d）

3.等差数列的性质：

1

?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差dn(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项为0. 前n和Sn?na1?222（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。 （3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap.

（1）当公差d如（1）等差数列{an}中，Sn

（2）在等差数列

；

?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，则n＝____ ；

?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n项和，则（ ）

*A、S1,S2?S10都小于0，S11,S12?都大于0B、S1,S2?S19都小于0，S20,S21?都大于0 C、S1,S2?S5都小于0，S6,S7?都大于0 D、S1,S2?S20都小于0，S21,S22?都大于0

(4) 若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan?pbn} (k、

p是非零常数)、{ap?nq}(p,q?N)、

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差数列，而{aan}成等比数列；若{an}是等比数列，且an?0，则{lgan}是等差

数列.

如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。

（5）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，；S奇:S2n?1?(2n?1)?a中（这里a中即an）S

（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数.

（6）若等差数列

偶，S偶－S奇?nd；项数为奇数2n?1时，S奇?S偶?a中。

?k(1)?:k如（1）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______；

{an}、

{bn}的前

n和分别为

An、

Bn，且

An?f(n)Bn，则

an(2n?1)anA2n?1???f(2n?1). bn(2n?1)bnB2n?1如设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若

anSn3n?1，那么 ?___________；?bnTn4n?3

(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值

?an?0?确定出前多少项为非负（或非正）是所有非正项之和。法一：由不等式组?an?0?；法二：因等差数列前n??或????an?1?0???an?1?0?项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如（1）等差数列{an}中，a1

（2）若{an}是等差数列，首项a1*?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；

?0,a2003?a2004?0，a2003?a2004?0，则使前n项和Sn?0成立的最大正整数

n是 ；

(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an4.等比数列的有关概念：

（1）等比数列的判断方法：定义法

?bm.

an?1aa，其中q?0,an?0或n?1?n ?q(q为常数）ananan?1(n?2)。

如（1）一个等比数列{an}共有2n?1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an?1为____； （2）数列{an}中，S=4an?1+1 (nn?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。

2

（2）等比数列的通项：an

?a1qn?1或an?amqn?m。

如设等比数列{an}中，a1?an?66，a2an?1?128，前n项和Sn＝126，求n和公比q.

a1(1?qn)（3）等比数列的前n和：当q?1时，Sn?na1；当q?1时，Sn?

1?qa?aq?1n。

1?q如（1）等比数列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99；

（2）

10n?(?Cn?1k?0kn)的值为__________；

特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q?1和q?1两种情形讨论求解。

（4）等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。 提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个?等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______

提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为?，

ab。如已知两个正数a,b(a?b)的

aa；但偶数,,a,aq,aq2?（公比为q）2qq个数成等比时，不能设为?

aa32，?，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。 ,,aq,aqq3qq如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。

5.等比数列的性质：

（1）当m?n?p?q时，则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有am?an?ap2.

如（1）在等比数列{an}中，a3则log3a1?log3a2?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___；

?9，

（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6???log3a10? 。

(2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、{ap?nq}(p,q?N*)、{kan}成等比数列；若{an}、{bn}成等比数列，则

a{anbn}、{n}成等比数列； 若{an}是等比数列，且公比q??1，则数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也是等比数

bn列。当q??1，且n为偶数时，数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?是常数数列0，它不是等比数列.

如（1）已知a?0且a?1，设数列{xn}满足logaxn?1?1?logaxn(n?N*)，且x1?x2???x100?100，则

x101?x102???x200? .；

（2）在等比数列{an}中，___； (3)若a1Sn为其前n项和，若

S30?13S10,S10?S30?140，则S20

的值为___

?0,q?1，则{an}为递增数列；若a1?0,q?1, 则{an}为递减数列；若a1?0,0?q?1 ，则{an}为递减数列；若a1?0,0?q?1, 则{an}为递增数列；若q?0，则{an}为摆动数列；若q?1，则{an}为常数列.

?a1na(4) 当q?1时，Sn?q?1?aqn?b，这里a?b?0，但a?0,b?0，这是等比数列前n项和

1?q1?q3

公式的一个特征，据此很容易根据Sn，判断数列{an}是否为等比数列。

如若{an}是等比数列，且Sn(5) Sm?n?3n?r，则r＝ 项和为

?Sm?qmSn?Sn?qnSm.

如设等比数列{an}的公比为q，前n_____ ；

Sn，若

Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则

q的值为-

(6) 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶数列又成等比数列的必要非充分条件。

如设数列

?qS奇；项数为奇数2n?1时，S奇?a1?qS偶.

(7)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差

?an?的前n项和为Sn（n?N）， 关于数列?an?有下列三个命题：①若an?an?1(n?N)，则?an?既

n2是等差数列又是等比数列；②若Sn?an?bn?a、b?R?，则?an?是等差数列；③若Sn?1???1?，则?an?是等

比数列。这些命题中，真命题的序号是 ；

6.数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

1111,5,7,9,?试写出其一个通项公式：__________； 481632S,(n?1)⑵已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：an?1。

Sn?Sn?1,(n?2)如已知数列3?如①已知{an}的前n项和满足log2(Sn

②数列{an}满足

?1)?n?1，求an；

111a1?2a2???nan?2n?5，求an 222f(1),(n?1)??f(n)⑶已知a1?。 a2???an?f(n)求an，用作商法：an??,(n?2)??f(n?1)2如数列{an}中，a1?1,对所有的n?2都有a1a2a3?an?n，则a3?a5?______ ； ⑷若an?1?an?f(n)求an用累加法：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1) ?a1(n?2)。

1(n?2)，则an=________ ； 如已知数列{an}满足a1?1，an?an?1?n?1?nan?1aaa⑸已知?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1???2?a1(n?2)。

anan?1an?2a1如已知数列{an}中，a1

⑹已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如an如①已知a1 ②已知a1

?2，前n项和Sn，若Sn?n2an，求an

?kan?1?b、an?kan?1?bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an。

?1,an?3an?1?2，求an；

?1,an?3an?1?2n，求an；

?an?1的递推数列都可以用倒数法求通项。

kan?1?ban?1如①已知a1?1,an?，求an；

3an?1?1（2）形如an4