实验三 体操团体比赛出场阵容的0-1规划模型

实验三 体操团体比赛出场阵容的0-1规划模型

2015-03-30

一.问题表述

有一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛，赛程规定：每个队至多允许 10 名运动员参赛，每一个项目可以有6名选手参加。每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为：10；9.9；9.8；…；0.1；0。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（四 项全参加）与单项比赛这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项。每个队应有4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。现某代表队的教练已经对其所带领的10名运动员参加各个项目的成绩进行了大量测试，教练发现每个运动员在每个单项上的成绩稳定在4个得分上（见下表），她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出（见表中第二个数据。例如：8.4～0.15表示取得8.4 分的概率为0.15）。

试解答以下问题：

1、每个选手的各单项得分按最悲观估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；每个选手的各单项得分按均值估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。

2、若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：本次夺冠的团体总分估计为不少于236.2分，该队为了夺冠应排出怎样的阵容？以该阵容出战，其夺冠前景如何？得分前景（即期望值）又如何？它有90％的把握战胜怎样水平的对手？

附表：运动员各项目得分及概率分布表 运动员 1 2 3 4 项 目 8.4-0.15 9.3-0.1 8.4-0.1 8.1-0.1 9.5-0.5 9.5-0.1 8.8-0.2 9.1-0.5 高低杠 9.2-0.25 9.6-0.6 9.0-0.6 9.3-0.3 9.4-0.1 9.8-0.2 8.4-0.15 9.0-0.5 9.2-0.25 9.4-0.1 10.0-0.1 8.1-0.1 9.1-0.5 9.3-0.3 9.5-0.1 9.5-0.1 8.7-0.1 8.9-0.2 9.1-0.6 9.9-0.1 5 8.4-0.15 9.5-0.5 9.2-0.25 9.4-0.1 9.0-0.1 9.2-0.1 9.4-0.6 9.7-0.2 平衡木 8.4-0.1 8.8-0.2 9.0-0.6 10.0-0.1 跳 马 自由体操 高低杠 平衡木 跳 马 自由体操 9.1-0.1 9.3-0.1 9.5-0.6 9.8-0.2 8.7-0.1 8.9-0.2 9.1-0.6 9.9-0.1 9.4-0.1 9.6-0.1 9.7-0.6 9.9-0.2 8.7-0.1 8.9-0.2 9.1-0.6 9.9-0.1 8.5-0.1 8.7-0.1 8.9-0.5 9.1-0.3 8.4-0.15 9.5-0.5 9.2-0.25 9.4-0.1 8.4-0.1 8.8-0.2 9.0-0.6 10.0-0.1 8.9-0.1 9.1-0.1 9.3-0.6 9.6-0.2 9.5-0.1 9.7-0.1 9.8-0.6 10.0-0.2 8.4-0.1 8.8-0.2 9.0-0.6 10.0-0.1 8.3-0.1 8.7-0.1 8.9-0.6 9.9-0.2 8.4-0.1 8.8-0.1 9.2-0.6 9.8-0.2 8.4-0.15 9.5-0.5 9.2-0.25 9.4-0.1 9.5-0.1 9.7-0.1 9.8-0.6 10.0-0.2 8.4-0.1 8.8-0.2 9.0-0.6 10.0-0.1 8.8-0.05 9.2-0.05 9.8-0.5 10.0-0.4 8.7-0.1 8.9-0.2 9.1-0.6 9.9-0.1 8.2-0.1 9.3-0.5 9.5-0.3 9.8-0.1 9.0-0.1 9.4-0.1 9.5-0.5 9.7-0.3 8.4-0.1 8.8-0.2 9.0-0.6 10.0-0.1 8.4-0.15 9.5-0.5 9.2-0.25 9.4-0.1 8.1-0.1 8.8-0.1 9.2-0.6 9.8-0.2 8.4-0.1 8.8-0.2 9.0-0.6 10.0-0.1 9.3-0.1 9.5-0.1 9.7-0.5 9.9-0.3 8.3-0.1 8.7-0.1 8.9-0.6 9.3-0.2 9.4-0.1 9.6-0.1 9.7-0.6 9.9-0.2 9.0-0.1 9.2-0.1 9.4-0.6 9.7-0.2 8.1-0.1 9.1-0.5 9.3-0.3 9.5-0.1 8.2-0.1 9.2-0.5 9.4-0.3 9.6-0.1 9.1-0.1 9.3-0.1 9.5-0.6 9.8-0.2

二. 实验过程与结果（含程序代码）

（一）模型基本假设

1.假设每位参赛选手在比赛时技能水平发挥正常，不会出现感冒，胃病，比赛中途扭伤，怯场，临时退出等现象；

2.假设运动员在比赛中能正常发挥水平，不受天气、时间等因素影响； 3.假设每个项目有6名选手参加，有4名选手参加全能比赛；

4.项目分为全能比赛（四项全参加）和单项比赛（至多只能参加三项单项）两类且每个运动员只能参加其中一类；

（二）符号说明

符号 说明 i 选手号（i=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10） j 项目名（j=1，2，3，4；分别记为高低杠，平衡木，跳马，自由体操） aij Q i选手是否参加j项比赛 团体总分 bij i选手参加j项比赛所获得的分数 （三）问题一的模型建立和求解

给出了不同的得分计算标准要我们求出团体总分最高时的阵容，因此我们给出了一个0—1阵容模型A如下：

? a11 a12 a13 a14??? a a a a21222324?A= ?

? ........................... ??? a a a a ?101102103104??1......i号参加了j项目其中aij??

?0......i号没有参加j项目由模型假设3、4可以给出阵容矩阵A要满足的两个约束条件：

1) 对于行：由假设可知，A必须存在这样的4行，在这4行中的aij都为1，而

除这4行外的其余6行中每行都至少存在一个aij为0； 2) 对于列：由假设可知每一列必须存在6个aij为1。

因为团体总分是参与了的队员各项得分的总和，因此我们给出了得分矩阵B如下：

? b11 b12 b13 b14??? b b b b21222324?B=? ? ........................... ??? b b b b ?101102103104?其中bij表示i号队员参加j项目所得的分。

因为参加全能比赛的选手占用了名额，因此我们还要建立一个参加全能的选手矩

阵C：

? c1??? c?2?? c3 ??? c ?4?? c ?5? C=?? c6 ??? c7??? c8 ??? c?9?? c??10??1......i号参加了全能比赛c?其中i?，

0......i号没有参加全能比赛?且C的约束条件为：

?c=4

ii?110因此团体总分Q就是参加全能比赛的选手的得分和参加单项比赛选手的得分， 即 Q??i?110?bj?14ijci?(1???biji?1j?1104c)i，a ij（前一项求和是参加全能比赛选手的得分，后一项求和是参加单项选手的得分）

对问题一（1）要求每个队员的各单项得分按最悲观估算的前提下，根据前面的分析我们将最悲观理解为参赛选手在各单项得分最差的情况。首先把表1经Excel软件处理得出每个队员各单项得分最低情况下的表1.1。

最悲观估算（得分最低的情况下）数据表(表1.1) 项目 队员 1 2 3 4 5 6 7 8 1（高低杠） 8.4 9.3 8.4 8.1 8.4 9.4 9.5 8.4 2（平衡木） 8.4 8.4 8.1 8.7 9.0 8.7 8.4 8.8 3（跳马） 9.1 8.4 8.4 9.0 8.3 8.5 8.3 8.7 4（自由体操） 8.7 8.9 9.5 8.4 9.4 8.4 8.4 8.2