东南大学高等数学（上册）实验完整讲义

40.750.530.252-0.75-0.5-0.25-0.25-0.50.250.51-2-11 -0.75 0.750.50.252.521.51-2-1-0.25-0.5-0.7510.5-2-1-0.51 图2-1

例2 制作函数y?xp的图形动画，并观察参数p对函数图形的影响。 解：输入命令如下：

Do[Plot[x^p,{x,0,3},PlotRange?{0,10}],{p,1,3,1/2}]

此命令输出了6幅图，参数p是从1到3以

12为步长的选择，从这些图中可以很明显地

看出在第一象限参数p对函数y?xp的影响。为了图形演示更加生动，我们可以对这些图形进行动画演示。

例3 绘出函数f(x)?x5?x4?5x3?x2?8x?4以及f?(x),f??(x)的图形，并找出所有的驻点和拐点。

解：首先，我们不妨将f(x)的自变量显示范围定为[?3,3]，则输入如下命令：

fx_:?48xx5xxxPlotfx,x,3,3,

?????????1050234-5-10-15-20GridLines?Automatic,Frame? PlotStyle?RGBColor1,0,0-3-2-1012 图2-2

为了利于观察一些特殊点的位置，选择了选项“GirdLines?Automatic”使图形的坐标平面上出现了网格线，而且这时Mathematica将自动选择相应的y的显示范围为[?20,10]（如图2-2）。图中的曲线差不多是函数y?f(x)图形的“全貌”。从图形中可以看出

x??2,x?1为函数的零点，单调性在x??2,x??0.8,x?1附近改变，而且在

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x??1,x?0,x?1附近曲线凸向似乎有所改变。总之，由函数的图形我们只能近似地判断出

一些信息，那么这些印象是否属实呢？为了证实这些印象，我们利用下面的Mathematica语句来加以验证：

Plot[f'[x],{x,-3,3},GridLines?Automatic,Frame?True,

PlotStyle?RGBColor[1,0,0],PlotLabel?\ ; Plot[f''[x],{x,-3,3},GridLines?Automatic,Frame?True,

PlotStyle?RGBColor[1,0,0],PlotLabel?\

运行后，绘出了f(x)的一阶导函数和二阶导函数的图形（如图2-3），从图中可以分别观察出，f?(x)有三个零点，且均为f(x)的极值点；f??(x)有三个零点，且均为f(x)的拐点。

AGraphoff'xAGraph60304020100-40-10-3-2-1012200-20off''x?? ??12-60-3-2-10 图2-3

为了具体求出这些极值点和拐点，下面我们可以利用解方程的命令“Solve”来求解f?(x)和f??(x)的实根，输入命令为：

Solve[f'[x]?0,x]

运行后可得到这两个方程的解为：

x?2,x?145???????????????????,x?1,x?1,x?1083 Solve[f''[x]?0,x]

6,x?1108。3 这样利用Mathematica并同时结合函数微分学的知识找出了一些关键点，从而对函数的图形就有了真实全面的了解。

实验习题2

1、 制作函数y?sincx的图形动画，并观察参数c对函数图形的影响。 2、 已知函数f(x)?1x?2x?c2 (?5?x?4)，作出并比较当c分别取?1,0,1,2,3时的图形，

并从图上观察极值点、驻点、单调区间、凹凸区间以及渐近线。

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实验三 泰勒公式与函数逼近

一个函数f(x)若在点x0的邻域内足够光滑，则在该邻域内有泰勒公式

nf(x)?f(x0)??k?1f(k)(x0)k!， (x?x0)?（o|x?x0|）knn当|x?x0|很小时，有 f(x)?f(x0)?n?k?1f(k)(x0)k!(x?x0)，

k其中，T(x)?f(x0)?n?k?1f(k)(x0)k!k(x?x0)称为f(x)在点x0处的n阶泰勒多项式；

o（|x?x0|）为余项。下面我们利用Mathematica计算函数f(x)的各阶泰勒多项式，并通

过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。

例1 （泰勒公式的误差）利用泰勒多项式近似计算e。若|x|?1，要求误差|Rn|?0.005。 解：我们根据拉格朗日余项|Rn|?||Rn|?0.005，只要取n?5xex(n?1)!xn?1|?e(n?1)!|x|n?1?x3(n?1)!可得，欲使

即可。下面的Mathematica语句利用函数e的5阶泰勒多项式来近

似计算ed0的值，并判断误差：

d0=-1;

While[d0?1,a=N[Normal[Series[Exp[x],{x,0,5}]]]/.x?d0;Print[d0,\ \

\ \

输出结果为：

10.60.20.3666670.5487520.8187311.22141.822052.716670.3678790.5488120.8187311.22141.822122.718280.0012 0.0000598.64113 ?9.14935 ?0.000070 0.0016

0.20.61.输出结果每一行的最后一项表示误差，从结果中可以看出，当|x|?1，其误差|Rn|?0.005。

例2 （观察阶数n对误差的影响）利用函数e的n阶多项式计算e的值，并求误差

（n?5,6,7,8,9,10）。

解：为此，输入Mathematica语言如下：

xn=5;

While[n?10,a=N[Normal[Series[Exp[x],{x,0,n}]]/.x?1,17];Print[n,\

\

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\ \

输出结果为：

56789102.71666666666666672.71805555555555562.71825396825396832.71827876984126982.71828152557319222.71828180114638452.71828182845904522.71828182845904522.71828182845904522.71828182845904522.71828182845904522.7182818284590452 0.001615161792 0.000226272903 0.000027860205 ?3.05861777543.028858530 ?2.73126608 ?从结果中可知，阶数越高，误差越小。

例3（根据图形观察泰勒展开的误差）观察f(x)?sinx的各阶泰勒展开的图形。 解：（1）固定x0?0，观察阶数n的影响。

因为f(x)?sinx在x0?0处的偶数阶导数为零，所以首先我们在同一坐标系内显示函数f(x)?sinx及它的n(n?1,3,5,?,13)阶泰勒多项式的图形。故输入命令如下：

t=Table[Normal[Series[Sin[x],{x,0,i}]],{i,1,13,2}]; PrependTo[t,Sin[x]];

Plot[Evaluate[t],{x,-Pi,Pi}]

上述语句中的函数“PrependTo[t,Sin[x]]”是表示把函数sinx添加到表t中。运行后得到图3-1。

321-3-2-1-1-2-312 图3-1

为了使图形比较更加生动，下面我们作出sinx和它的某一阶泰勒多项式的同一坐标系下的比较图，并且在图中红色曲线表示函数f(x)?sinx的图形，蓝色曲线表示泰勒多项式的图形。命令如下：

For[i=1,i?11,a=Normal[Series[Sin[x],{x,0,i}]];Plot[{a,Sin[x]},{x,-Pi,Pi},PlotStyle?{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}];i=i+2]

运行后得到了六幅图（图3-2），从图表中可以观察到泰勒多项式与函数图形的重合与分离情况，显然在[??,?]范围内，第五幅图中两个函数的图形已经基本上吻合了，也就是说，

sinx的9次多项式与函数几乎无差别。

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