福建省福州市2018-2019学年高三第一学期质量抽测数学文试题

【答案】（1）（2）（ⅰ）【解析】 【分析】

，（ⅱ）可靠，见解析。

（1）根据题意写出所有的基本事件，即可求解：“不小于25”的概率； （2）（ⅰ）由题意求出，，代入公式求值，从而得到回归直线方程； （ⅱ）分别将的值代入，检验数据的误差均是否不超过2颗，即可判断． 【详解】（1）解：依题意得，、的所有情况有：

、

、

、

、

共有10个；

、

、

，所以

，故

、

、

、

、

、

设“、均不小于25”为事件，则事件包含的基本事件有事件的概率为；

（2）解：（ⅰ）由数据得

.

所以关于的线性回归方程为

，，，，，

.

.

（ⅱ）由（ⅰ）知，关于的线性回归方程为当当

时，时，

，，

. 是可靠的. .

所以，所得到的线性回归方程

【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题． 21.已知函数（1）求曲线（2）函数

在点与函数

.

处的切线方程；

的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）求证：【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）求出

.

（2）（ⅰ）

，（ⅱ）见解析

的导数，求得切线的斜率，由

与函数

的导数及图像即可.

得切点由点斜式方程可得切线的方程； 的图像总有两个交点转化为函数

有两个

（2）（ⅰ）函数

零点的问题，进而研究（ⅱ）先由 （ⅰ） 得上，利用函数

在.再构造

的单调性，分析出、不可能在同一单调区间内；设上单调性，欲证

,只需证明

，结合

，将导到，只需证明

，结合单调性即可证明结论 ．

【详解】（1）解：由已知得，

∴曲线

在点

∴，又∵，

.

，

处的切线方程为：

，

（2）（ⅰ）令∴由

得，

；由

得，易知，为极大值点，

又

即函数

在

时，当时，

时有负值存在，在时也有负值存在. ，

由题意，只需满足∴的取值范围是：

（ⅱ）由题意知，，为函数妨设

，则

，且函数

在

上单调递增，欲证

的两个零点，由（ⅰ）知，不，

只需证明所以，只需证明令∴

，而

. ，则.

，

∵所以，所以，所以，

，∴

，即

在，∴.

，即

上为增函数，

成立.

【点睛】本题属于极值点偏移问题，主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，教学中的重点和难点．

请考生在第（22）、（23）二题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.在平面直角坐标系

中，直线的参数方程为

（为参数，为的倾斜角），以原点为极

，三条直线

点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

，

（1）求证：

，

；

与曲线分别交于不同于极点的三点，，.

（2）直线过，两点，求与的值. 【答案】（1）见解析（2）【解析】 【分析】

（1）把值代入曲线的极坐标方程即可得（2）当值.

，

，由此得证.

，

，时求出A点的极坐标和点的极坐标，得到直线的方程，从而求与的

【详解】（Ⅰ）证明：依题意，

，

则（Ⅱ）直线点的极坐标为

.

与圆的交点的极坐标为

， ，

，

，

从而，、两点的直角坐标分别为：∴直线的方程为：

，

，，

所以，，

【点睛】本题考查直角坐标方程、 极坐标方程、 参数方程的互化等基础知识， 考查运算求解能力是基础题 ． 23.已知函数（1）若对于任意（2）若存在【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）求出函数的对称轴，得到关于a的方程，即可得解；（2）等价于

，求出

【详解】（1）解：因为所以又所以（2）解：等价于

.

的图像关于直线

对称

对称，

的最小值，得到关于的不等式，解出即可． ，

，

，设

，，使得

，都满足

.

，求的值； 成立，求的取值范围.

（2）

的图像关于直线

，所以，

，使得

.

.

等价于，使得.