2010年福建省高三数学质量检测理

x2y2 （I）依题意，可设双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0).

ab由已知得，C的一个焦点F1（2，0）， 所以C的另一个焦点F2（-2，0） 由2a?||OF2|?|QF1||?|(2?2)2?( 得a?

????1分

33?0)2?(2?2)2?(?0)2|?23, 33

????3分

3,又c?2,所以b2?c2?a2?1,

????4分

x2?y2?1. 所以双曲线C的方程为3x2?y2?1的焦点F1（2，0）作与x轴 （II）关于双曲线C的类似命题为：过双曲线3不垂直的任意直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则

|AB|为定值，且定值是3.

|F1M|????6分

证明如下：

由于l与x轴不垂直，可设直线l的方程为:y?k(x?2).

?x22??y?1, ①当k?0时，由?3得(1?3k2)x2?12k2x?12k2?3?0.

?y?k(x?2),? 依题意l与C有两个交点A、B， 所以1?3k?0,??0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),

212k212k2?3,x1x2??, 则x1?x2??1?3k21?3k2第 13 页 共 21 页

y1?y2?k(x1?x2?4)??4k,

1?3k2????8分

6k22k,?), 所以线段AB的中点P的坐标为(?1?3k21?3k22k16k2?(x?). AB的垂直平分线MP的方程为：y?22k1?3k1?3k8k2, 令y=0，解得x??21?3k8k2,0), 即M(?1?3k28k22(1?k2)所以|F1M|?|2?|?.

1?3k2|1?3k2|又|AB|? ????9分

(x1?x2)2?(y1?y2)2?(1?k2)(x1?x2)2

?1?k2?(x1?x2)2?4x1x2

12k2212k2?323(1?k2)?1?k?(?)?4(?)?, 2221?3k1?3k|1?3k|2所以

|AB|?3.

|F1M| ????10分

（注：若考生用左焦点进行叙述并证明，同样给分）

（III）过圆锥曲线E的焦点F作与焦点的在的对称轴不垂直的任意直线l交E于A、B

两点，线段AB的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M， 则

2|AB|为定值，定值是（共中e为圆锥曲线E的离心率）????13分

e|FM|解法二：

x2y2 （I）依题意，可设双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)????1分

ab第 14 页 共 21 页

?32()2?2?3?1 由已知可得?2?2b?a22??a?b?4,2??a?3,解得?2

??b?1, ????3分

x2?y2?1 所以双曲线C的方程为3 （II）（III）同解法一.

????4分

20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函

数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分. 解法一：

（I）当x?1时,f'(x)??3x2?2x?b. 依题意，得? 解得b=c=0.

????1分

?f(0)?0,?c?0, 即?f'(?1)??5,?3?2?b??5,??

????3分 ????4分

??x3?x2,x?1, （II）由（I）知，f(x)??

?alnx,x?1.①当?1?x?1时,f'(x)??3x?2x??3x(x?), 令f'(x)?0得x?0或x?2232. 3 ????5分

x变化时，f'(x),f(x)的变化如下表：

x （-1，0） 0 0 极小值 2(0,) 3+ 单调递增 2 30 极大值 2(,1) 3- 单调递减 f'(x) - f(x) 单调递减 第 15 页 共 21 页

又f(?1)?2,f()?234,f(0)?0, 27

????6分

?f(x)在??1,1?上的最大值为2.

②当1?x?2时，f(x)?alnx. 当a?0时,f(x)?0;

当a?0时,f(x)在[1,2]上单调递增，

?f(x)在[1，2]上的最大值为aln2. 综上所述，

????8分

2时,f(x)在[-1，2]上的最大值为2； ln22时,f(x)在[-1，2]上的最大值为aln2.????10分 当aln2?2,即a?ln2当aln2?2,即a? （III）假设曲线y?f(x)上存在两点P、Q满足题设要求，

则点P、Q只能在y轴的两侧， 不妨设P(t,f(t))(t?0), 则Q(?t,t3?t2),显然t?1

??POQ为直角三角形，

?OP?OQ?0,即?t2?f(t)(t3?t2)?0.（1）

是否存在P、Q等价于方程（1）是否有解. 若0?t?1,则f(t)??tt,代入（1）式得，

32?t2?(?t3?t2)(t3?t2)?0,

即t?t?1?0，而此方程无实数解 ， 因此t?1.

????11分

42?f(t)?alnt,代入（1）式得，

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