4、角动量定理与角动量守恒定律满足力学相对性原理

4、角动量定理与角动量守恒定律满足力学相对性原理

一、角动量定理具有伽利略变换的不变性（满足力学相对性原理） 角动量对不同的参照系具有不同的值，所以角动量对伽利略变换不具有对称性；但角动量定理

对不同的惯性系具有相同的形式，所以角动量定理对伽利略变换具

有对称性，为此首先用矢量法给出一般证明--------------

牛顿第二定律的最初形式为

F=mdv/dt=dP/dt --------------------- (1)

用质点在0-xyz坐标系的坐标矢量r从左边叉乘式（1）的两边就有 r×F= r×dP/dt，所以

r×dP/dt= d(r×P)/ dt= dL/dt，其中M= r×F,L= r×P.

上式变为M= dL/dt (2) 由于(1)满足力学相对性原理，我们有F= dP′/dt （3） 用质点在0′-x′y′z′坐标系的坐标矢量r′从左边叉乘式（3）的两边就有 r′×F= r′×dP′/dt，所以r′×dP′/dt= d(r′×P′)/ dt= dL′/dt， 上式变为M′= dL′/dt， （4） 其中M′= r′×F,L′= r′×P′.

（2）和（4）式对比，证明质点角动量定理满足力学相对性原理.文献[1]也给出了证明. 下面用实例验证角动量定理服从力学相对性原理 例1：弹簧振子、自由落体和斜面上自由下滑的滑块 对于弹簧振子，角动量守恒：

x1?x?ut，v1?v?u，a1?a?0?a，ma1?ma，f1?f．

M?x×f??(x?f sin π)e?0，

所以

0?M?x×f??

dld(x?mv)?，?dtdt所以在地面上观察，角动量l?x×mv守恒，角动量定理成立. 据伽利略变换知：

M1? x1×f1?(x?ut)×f? x×f?ut×f???0?[ut?f sin (nπ)]eu?0?0?0 (其中n?0，1)，

所以在小车上观察，角动量l1?x1×mv1守恒，质点所受的合力矩为0，角动量定理成立，角动量定理满足伽利略变换.

类似分析自由落体运动和从斜面自由下滑的滑块，由于位移和合外力共线，质点所受的合力矩为0，角动量守恒，角动量定理成立，角动量定理满足伽利略变换.

例2：匀速圆周运动

如下图，有一质量为m的小球（视为质点），在轻绳的牵制下，在光滑的地面上绕O点做匀速（速率为v）圆周运动，如果忽略地面和空气摩擦阻力， y

图1 匀速圆动物体角动量定理成立问题 F o θ R ○ 小 车 ? u x 光滑水平地面 问：小球在地面系和沿x 轴匀速运动的小车（设小车的速度为u）坐标系(O1-x1y1),角动量定理是否都成立？

解析：地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系. 1、在地面系——设初相为0，v=ωR, x=Rcosωt y= R sinωt x′=-Rωsinωt y′= Rωcosωt fx=m x′′= -mRωcosωt fy=m y′′= -mRωsinωt

22

L?R?f=0，质点对圆心的角动量大小为mR2ω，方向不变，角动量定理成立.

2、小车系

将运动方程作伽利略变换，写出小车系运动方程：

x1=x-ut=Rcosωt-ut y1= y=R sinωt x′1= x′-u=-Rωsinωt-u y′1= y′= Rωcosωt

p=mv=(-mRωsinωt-mu, mRωcosωt,0) r=( Rcosωt-ut, R sinωt,0)

fx=m x′′= -mRωcosωt fy=m y′′= -mRωsinωt

22

L1=r1?p1=(0,0, mR2ω+umR sinωt-utmRωcosωt) L1′=(0,0, utmRω2sinωt) M1= r1?f=(0,0, utmRω2sinωt)

角动量定理成立，角动量定理满足伽利略变换.

二、经典的角动量守恒定律不满足力学相对性原理

角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，是反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律.尽管角动量守恒定律可以从牛顿定律中推导出来，但是它不受牛顿定律适用范围的限制，不论是研究物体的低速运动还是高速运动，不论是宏观领域的物理现象还是微观领域的物理过程，角动量守恒定律已被大量实验证明是正确的，无一相悖.角动量守恒定律是自然界普遍存在的基本定律之一，角动量守恒的实质上对应着空间旋转不变性(体系整体绕任意轴n旋转δφ时，体系的哈密顿算符不变).当体系处于中心对称场或无外场时，体系具有空间旋转不变性. 例如当考虑到太阳系中的行星受到太阳的万有引力这一有心力时，由于万有引力对太阳这个参考点力矩为零，所以它们以太阳为参考点的角动量守恒，这也说明了行星绕太阳公转单位时间内与太阳连线扫过的面积大小总是恒定值的原因.

角动量守恒定律的发现无疑是人类历史上的一个伟大的发现，它在运动学中占据了重要的地位，有其广泛的应用价值.它推动着人类航天事业的发展，为航天科技提供了坚实的理论基础，无论是在卫星通讯、导航工程，还是在对月球、火星的探索，乃至于整个宇宙，它都是被人类所追捧的，青睐的，信赖的.它在惯性导航、航天器的姿态控制方面展示了有唯独特的魅力，显示了科学的神奇和奥妙.随着人类航天事业的发展，它会更为广泛的应用，它定会在那深邃、渺茫、神奇的太空中为人类指导航向.

根据上面的计算可以得出，角动量不具有伽利略变换的不变性，合力矩也不具有伽利略变换的不变性，经典的角动量守恒定律也不具有伽利略变换的不变性，即不满足力学相对性

原理（或者说不具有单独的协变性），文献[1]和[2]以椭圆运动为例也说明了这个问题.在同一个坐标系中，质点即使受到有心力的作用，对某个作用点角动量守恒，对另一个作用点也可能不守恒，因为此时合力矩不在为

0.如果角动量守恒定律不满足伽利略变换或者说不具

有单独的协变性，就应当从牛顿力学中独立出来，这样经典力学便由牛顿力学与角动量守恒定律共同组成，体系就比较复杂了.

科学中的疑难问题，是科学迄今尚未征服的领域.对于疑难问题的探索求解，从来都是科学研究中最活跃、最富生命力的部分，是科学活动的本性所在.科学中的疑难直接相关于科学理论本身的结构及其实际的发展水平.当科学信念与科学事实发生冲突时，就出现科学中的疑难.这不一定只限于理论的推论与实验事实直接矛盾这一种情况.当一个深信其成立的命题还未得到理论的严格证明时，它也会成为人们为之困惑的疑难问题.科学中的各种疑难是具有不同的价值的.就是说，有的疑难问题的探索求解对于一个学科的发展至关重要，有的则不那么重要.然而，辨认出一个学科中的关键疑难并非易事.在许多科学家看来，科学难题正是科学进步的阶梯.

三、对于角动量守恒定律表述的重新思考

不具有单独协变性的命题不能称之为力学定律，作为力学定律必须具有普遍性，不能等同于一般的真命题，对于某一个确定的物理过程，在一个惯性系成立，在另一个惯性系也必须成立（在这里所说的成立不仅包括命题的条件成立，结论也必须成立）.显然经典的角动量守恒定律不能满足这个要求，而且在很多情况下质点受到的合力矩不等于0，因此有必要重新表述角动量守恒定律，使其满足上述要求.

把角动量定理的两边同时积分可以得到角动量定理的积分形式——质点对于某一点

（或某轴）的角动量与该点受到的合力矩对于时间的积分之差不变. 即

tL(t)?Mdt? L(t0)

t0?该命题与角动量定理的微分形式是等价命题，显然具有伽利略变换的不变性，满足力学相对性原理，也具有单独的协变性.

由于非保守力力矩的方向始终与角动量的方向相反，因此非保守力矩只能减少质点的角动量的大小，不能改变角动量的方向，例如地球围绕太阳公转，以太阳为参考点，地球看做质点的话，受到的合力矩为0，可是事实上地球并不是质点，其内部存在着非保守力，因此地球的公转的角动量应该稍微减少，不过日—地轨道角动量是十分巨大的，相比之下地球的