Taylor公式的几种证明及若干应用

Taylor公式的几种证明及若干应用

重庆师范大学涉外商贸学院 数学与应用数学（师范） 2008级 张琳翎

指导教师 江华南

中文摘要：泰勒公式是数学分析中的重要内容, 集中体现了微积分中“逼近法”的思想, 在理论分析和实际应用中经常涉及. 本文首先阐述了泰勒公式的定义和基本内容,在给出泰勒公式传统证法的基础上结合牛顿—莱布尼兹公式的另一新型证法，并由所得余项导出其他形式的余项。然后在基本概念的基础上举证实例, 探讨了泰勒公式在求极限, 级数收敛, 定积分, 近似计算, 根的存在性, 函数凹凸性及拐点, 行列式计算这几个方面的应用与技巧. 通过这几个方面的研究,使一些问题得到更好的解答.

关键词: 泰勒公式;佩亚诺余项；拉格朗日余项；应用

Abstract: Taylor formula is an important part of mathematical analysis, the concentrated expression of the idea of the calculus approximation method, often involved in the theoretical analysis and practical application. This paper first describes the definition and the basic content of the Taylor formula, to Proof of the Taylor formula based on the combination of Newton - Leibniz formula to another new proof of the proceeds of the remainder exported to other forms of more than instance of the basic concepts of proof, of the Taylor formula in the limit, the series converges, the definite integral, approximate calculation, the root of existence, function bump and the inflection point, the determinant calculation of these aspects of the application and some get better answers.

Keywords: Taylor formula;Paeon; Lagrangian ; application

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1泰勒公式

1.1泰勒公式的意义

泰勒公式的意义是用一个n次泰勒多项式来逼近函数f.而多项式具有形式简单，易于计算等优点.

泰勒公式由f(x)的n次泰勒多项式pn(x)和余项Rn(x)?o[(x?x0)n]组成，我们来详细讨论他们.

当n?1时，有

p1(x)?f(x)?f?(x0)(x?x0),

是y?f(x)的曲线在点(x0,f(x0))处的切线（方程），称为曲线y?f(x)在点

(x0,f(x0))的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.

当n?2时，有

p2(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0),2

是曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))的“二次切线”，也称曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))的二次密线.可以看出二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越密切，近似程度越来越高.

1.2泰勒公式余项的类型

泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺余项o((x?x0)n)，仅表示余项是比(x?x0)n(当

x?x0时）高阶的无穷小.如sinx?x?x36?o(x)3sinx用x?，表示当x?0时，

x36近似，误差（余项）是比x3高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项

1(n?1)!f(n?1)(?)(x?x0)n?1（?也可以写成x0??(x?x0)）、柯西余项（如在某些幂

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级数展开时用).定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.

1.3泰勒公式的定义及常见函数的泰勒展开式

（1）带有佩亚诺（Beano）型余项的泰勒公式

如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有n阶导数，则对此邻域内的点x，有

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)??2f(n)(x0)n!(x?x0)?o((x?x0)).

nn当x?0时，上式称为麦克劳林（Maclaurin）公式，即

f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x???2f(n)(0)n!x?nf(n?1)(?)(n?1)!xn?1(0???1)

（2）带有拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式

如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有n?1阶导数，则对此邻域内的点x，有

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)??2f(n)(x0)n!(x?x0)?nf(n?1)(?)(n?1)!(x?x0)n?1（?介于x0与x之间）. 常见函数的展开式：

11?xx?1?x?x???x?o(x)2nn

e?1?x?xx22!3???xnn!?o(x)

2n?1nsinx?x?3!x2?x55!x4???(?1)nx(2n?1)!x2n?o(x2n?1)

cosx?1?2!?4!?x66!???(?1)n(2n)!?o(x2n)

ln(1?x)?x?x22?x33???(?1)n?1xnn?o(x)n第 3 页 共 19 页

(1?x)m?1?mx?m(m?1)2!x???2m(m?1)?(m?n?1)n!x?o(x).nn

2.泰勒公式的证法

泰勒公式是微积分学中的一个重要定理，它的传统证法一般多采用柯西中值定理或多次使用洛比达法则来得到。下面首先介绍两种典型的传统证法.

2.1利用洛比达法则证明

定理1 若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)?Tn(x)?o((x?x0)n),即

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)???2f(n)(x0)n!(x?x0)?o((x?x0)).nn

证明 设

Rn(x)?f(x)?Tn(x),Qn(x)?(x?x0),

n现在只要证

limRn(x)Gn(x)?0x?x0

由f(k)(x0)?Tn(k)(x0),k?0,1,2,?,n.可知，

?(x0)???Rn(x0)?0,Rn(x0)?Rn(n)

并易知

?(x0)???QnQn(x0)?Qn(n?1)(x0)?0,Qn(x0)?n!

(n?1)(n)因为f(k)(x0)存在，所以在点x0的某邻域U(x0)内f(x)存在n?1阶导函f(x).

于是，当x?Uo(x0)且x?x0时，允许接连使用洛比达法则n?1次，得到

limRn(x)Qn(x)?lim?(x)Rn?(x)Qnf(n?1)x?x0x?x0???limRn(n?1)(n?1)(x)(x)(n)x?x0Qn

(x0)(x?x0) =lim(x)?f(n?1)(x0)?fx?x0n(n?1)?2(x?x0)

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