2020届高考数学二轮复习专题《利用基本不等式求代数式的最值问题》

专题27 利用基本不等式求代数式的最值问题

基本不等式是高中数学的一个重要知识点，在全国各地的高考考纲中都属于C级(熟练掌握)要求，高考经常考查利用基本不等式求变量或者代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点．试题既能考查基本不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还能考查运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养.

x2y2

(1)已知正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值

x＋2y＋1

为________．

19

(2)已知正数a，b满足a＋b＋a＋b＝10，则a＋b的取值范围是________．

本题考查基本不等式在求最值中的应用，本题是通过“换

元”，将条件与结论转换，于是问题也转化为熟悉的题型，最后采用逆代法求最值.

a4＋4b4＋1

(天津卷)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为ab

__________．

(2019·苏州调研)设正实数x，y满足xy＝

值是________．

x＋9y

，则y的最小y－x

24

已知正实数x，y满足x＋x＋3y＋y＝10，则xy的取值范围

为________．

已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，

m

则M的值为________．

(x＋1)(2y＋1)

(2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的

xy

最小值为________．

11416

若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为

a－1b－1

________．

16

11

因为a>0，b>0，＋＝1，所以a＋b＝ab，

ab

4?b－1?＋16?a－1?4b＋16a－20416

则＋＝＝＝4b＋16a－20. a－1b－1?a－1? ?b－1?ab－?a＋b?＋1

11?b4ab4a＋＝20＋4×?＋?≥20＋4×2× 又4b＋16a＝4(b＋4a)?·＝36， ?ab??ab?ab

b4a113416

当且仅当＝且＋＝1，即a＝，b＝3时取等号，所以＋≥36－20＝16.

abab2a－1b－1

1111

∵a>0，b>0，＋＝1，∴<1，<1，即a>1，b>1，令m＝a－1，n＝b－1，

abab1111

则m>0，n>0.又由＋＝1得＋＝1，即mn＝1.

abm＋1n＋1

4164164164161＋＝＋≥2·＝16.当＝，即m＝，n＝2时取得等号．故原式的

mnmn2a－1b－1mn

最小值等于16.

作业评价

x＋8y

正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最小值为________． 11

若a>b>0，则a＋ab＋的最小值为________．

a(a－b)

2

a2b

已知a>0，b>0，则＋的最大值为________．

2a＋b2b＋ax＋y

设正实数x，y满足xy＝，则实数x的最小值为________．

x－y圆x2＋y2－ax－by＝0与x，y的正半轴分别交于A，B，若

AB＝4，则坐标原点O到直线AB距离的最大值等于________．

已知点A(0,1)，B(1,0)，C(t,0)，点D是直线AC上的动点，

若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为________．

bc

已知正数a，b，c满足b＋c≥a，则c＋的最小值为

a＋b

________．

x22

设实数x，y满足4－y＝1，则3x2－2xy的最小值为________．