数值分析填空练习

1 绪论

(1). 要使20的近似值的相对误差限?0.1%, 应至少取___4____位有效数字。

20＝0.4…?10, a1=4, ?r?

1?10-(n-1)< 0.1% ，故可取n?4, 即4位有效数字。 2a1(2). 要使20的近似值的相对误差限?0.1%, 应至少取___4___位有效数字,此时的绝对

误差限为

1′10-3 2(3). 设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝

对误差限的估计式为: ? ?| |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2| (4). 计算 f=(2-1)6 , 取2＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答：

__C_____. (A)

1(2?1)6, (B) (3-22)2, (C)

1(3?22)3, (D) 99-702

(5). 要使17的近似值的相对误差限?0.1%, 应至少取_________位有效数字？

17＝0.4…?10, a1=4, ?r?

1?10-(n-1)< 0.1% 2a1故可取n?3.097, 即4位有效数字。 (6). 设x=3.214, y=3.213，欲计算u=

u=

x?y, 请给出一个精度较高的算式u=.

x?yx?y

(7). 设x=3.214, y=3.213，欲计算u=

u=

x?y, 请给出一个精度较高的算式u= .

x?yx?y

(8). 设y=f (x1,x2) 若x1,x2,的近似值分别为x1*, x2*,令y*=f(x1*,x2*)作为y的近似值,其绝对误

差限的估计式为: ? ?| |f(x1*,x2*)|x1-x*1|+ |f(x1*,x2*)|x2-x*2|；

2 方程根

(9). 设迭代函数?(x)在x*邻近有r（?1）阶连续导数，且x* = ?(x*)，并且有?(k)(x*)=0

(k=1,…,r-1)，但?(r) (x*)?0，则xn+1=?(xn)产生的序列{ xn }的收敛阶数为___r___

(10). 称序列{xn}是p 阶收敛的如果 limxn?1?x*xn?x*pn???c

(11). 用牛顿法求 f(x)=0 的n重根，为了提高收敛速度，通常转化为求另一函数u(x)=0

的单根，u(x)=

(12). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 则x1= ________ 解

x1=1.5970149 (13). 用牛顿法解方程x?x?1?0的迭代格式为_______________ 解 xk?132xk?xk?1 ?xk?23xk?2xk32f(x)

?f(x)

(14). 迭代过程xk?1??(xk)收敛的充分条件是??(x) ? 1.___

(15). 用Newton法求方程f(x)=x+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 则x1= 1.5970149 (16). 用牛顿法解方程x?x?1?0的迭代格式为

______xk?132xk?xk?1_________ ?xk?23xk?2xk323

(17). 用Newton法求方程f(x)=x3+10x-20=0 的根，取初值x0= 1.5, 则x1= ________ 解

x1=1.5970149

(18). 迭代公式xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a)是求a1/2的 (12) 阶方法

3方程组

(19). 矩阵的 LU 分解中L是一个 _为单位下三角阵，而U是一个上三角阵____。

?2???8(20). 设线性方程组的系数矩阵为A=?1??7?143??413?,全主元消元法的第一次可选的主

351??486??元素为 -8，或8___，第二次可选的主元素为 8+7/8或-8-7/8 ____. 列主元消

元法的第一次主元素为 _－8_________；第二次主元素为(用小数表示) 7.5_____;

(21). 在方阵A的LU分解中, 方阵A的所有顺序主子不为零,是方阵A能进行LU分解的

充 分 (充分,必要)条件；严格行对角占优阵 能__(能,不能)进行LU分解；非奇异矩阵___不一定___(一定，不一定)能进行LU分解。

(22). 设A是正定矩阵，则A的cholesky的分解 唯一 (唯一,不唯一).

?210???(23). 设A?12a，为使A可分解为A=LLT，其中L是对角线元素为正的下三角????0a2??形矩阵，则a的取值范围是 ，取a=1，则L= 。

????(24). 解 a?(?3,3)，?????

4迭代 (1). A??212003223??0?0?? ?2?3???1?1?，则||A||1? ，||A||2? ，||A||?? ； ??23?答：4，3.6180340，5；

2??x1??b1??1(2). 已知方程组???x???b?，则解此方程组的Jacobi迭代法___是___收敛

0.321???2??2?（填“是”或“不”）。

?2?11??x1??1??? ?x???1?记此方程组的Jacobi迭代矩阵为

1(3). 给定方程组 11???2?????11?2????1???x3???BJ=(aij)3?3，则a23= -1； , 且 相应的Jacobi迭代序列是__发散_____的。 (4). 设f(x)=(x-1)，则f(x)关于C[0,1]的

3f￥= 1 , f= 21 7(5). A???10?2，则||A||1?4,?(A)?1(|?I?A|?(??1),?1,2?1) ???31?(6). Rn 上的两个范数||x||p, ||x||q等价指的是_?C,D?R,_C_||x||q _?||x||p?D ||x||q _； Rn 上的

两个范数_一定____是等价的。（选填“一定”或“不一定”）。 (7). x?(3,0,?4,12)，则||x||1? 19 ,||x||2?13____，||x||??____12 ；

T2??x1??b1??1(8). 已知方程组?则解此方程组的Jacobi迭代法___收敛（填“收??x???b?，

0.321???2??2?敛”或“发散”），

(9). X?(2,3,?4)则||X||1? ，||X||2? ，||X||??

T解 ||X||1?9,||X||2?(10). 已知方程组?29,||X||??4

2??x1??b1??1则解此方程组的Jacobi迭代法_____________???，????0.321??x2??b2?收敛（填“是”或“不”），

2?2??1?0 解 （3）因A???的Jacobi迭代矩阵B??0.320?，?(B)?0.8，

0.321????故Jacobi迭代是收敛的， (11). 已知方程组??5x?2y?8，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高

3x?20y?26?斯-塞德尔法的迭代格式是________________；

2??x(k?1)??2y(k)?8??0?5???55,? 解 ? ?3?0??y(k?1)?3x(k?1)?13?20??2010?2??x1??b1??1(12). 已知方程组?则解此方程组的Jacobi迭代法_____________??x???b?，

0.321???2??2?收敛（填“是”或“不”）， 解 因A??2?2??1?0的Jacobi迭代矩阵，?(B)?0.8，故Jacobi迭B?????0.321??0.320??5x?2y?8，其雅可比法的迭代矩阵是______________，高斯-塞

?3x?20y?26代是收敛的， (13). 已知方程组?德尔法的迭代格式是________________；

2??x(k?1)??2y(k)?8??0?5???55, 解 ? ??3313?0??y(k?1)?x(k?1)??20??2010??a10?1?，要使limAk?0，a应满足___________； (14). A??0k???2???解 a?1

(15). X?(2,3,?4)则||X||1? ，||X||2? ，||X||?? 。

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