关于导函数性态的讨论与研究

大庆师范学院毕业论文

有界性与介值性。那么在闭区间上的可导函数F(x)，其导函数f(x)在?a,b?上是否具有有界性与介值性呢？回答是肯定的，不论导函数f(x)在?a,b?上是否连续，均有这个结论。下面我们就给出导函数的有界性与介值性。

（一）导函数的介值性

定理1：若在区间I上，f(x)是F(x)的导函数，对任意的?a,b??I，c为介于f(a)与f(b)之间的任何实数(f(a)?c?f(b)或f(a)?c?f(b))，则至少存在一点??(a,b)，使得f(?)?c。

证明：对任意的?a,b??I，不妨假设f(a)?f(b)，?c：f(a)?c?f(b) 作辅助函数G(x)?F(x)?cx：则

(i)G(x)在?a,b?上处处可导，且G?(a)?F?(a)?c?f(a)?c?0，

G?(b)?F?(b)?c?f(b)?c?0，只要能证明：存在??(a,b)，使得G?(?)?0，

即F?(?)?c?0，亦即f(?)?c即可。 错误！未找到引用源。，

所以x?a，x与a充分接近时有G(x)?G(a)。同理由G?(b)?0知x?b且x与

b充分接近时，有G(x)?G(b)。故G(x)在端点a,b出不取得最小值。但G(x)

连续，它在闭区间?a,b?上有最小值，所以存在??(a,b)，使得

由Fermat定理有G?(?)?0。

例1 设函数f(x)在区间(??,??)上二次可微，且有界，试证存在点x0?(??,??)，使得f??(x0)?0。

证明：若f??(x0)变号，则由导函数的介值性，存在??(??,??)，使得f??(x0)?0。 利用反证法证明：若f??(x0)不变号，不妨设f??(x0)?0（f??(x0)?0类似可证），则f?(x)2

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严格增。取x0?(??,??)使f?(x0)?0，若f?(x0)?0，则当x?x0，并令x???时，

f(x)?f(x0)?f?(?)(x?x0)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)???。若f?(x0)?0，则当x?x0，并令x???时，f(x)?f(x0)?f?(?)(x?x0)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)???与f(x)有界矛盾，因此假设不成立，所以存在点x0?(??,??)，使得f??(x0)?0。

推论1：若f(x)在I上不具介值性，则f(x)在I上一定不存在原函数。

例2 设函数f(x)在?a,b?上连续，f(a)?f(b)?k，f??(a)?f??(b)?0，则至少存在一点???a,b?使f(?)?k。

证明：因为f(x)在?a,b?连续，所以由介值性定理知，f(x)必是?a,b?上某函数的导 函数。不妨假设f??(a)?0，f??(b)?0，所以，由保号性可知，存在x1?(a,b]，x2?[a,b)，使f(x1)?f(a)?k，f(x2)?f(b)?k，而f(x)在?x1,x2?或?x2,x1?上连续，k是f(x1)与

f(x2)之间的一个数，从而f(x)为?x1,x2?或?x2,x1?上某函数的导函数，由导函数的介值

性定理得知，在x1与x2之间至少存在一点?，使f(?)?k，因而至少存在一点??(a,b)，使f(?)?k。

为了得到导函数的有界性，我们先给出下面的定理。

（二）导函数无第一类间断点

定理2：若在区间I上，f(x)是F(x)的导函数，则f(x)在I上没有第一类间断点。 证明：假设在区间I上f(x)有第一类间断点x0，由于f(x)是区间I上F(x)的导函 数，所以有：

同理可证，f(x0)?f(x0 ?0)。

推论2 若f(x)在I上有第一类间断点，则f(x)在I上不存在原函数。

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顺便指出：在I上有第二类间断点的函数f(x)可能有原函数也可能没有原函数。 例3 设函数f(x)?，证明不存在一个函数以f(x)为其导函数。

证明：显然x?0是f(x)的第一类间断点，所以由推论2知，f(x)在(??,??)上不

例存在原函数，即不存在一个函数以f(x)为其导函数。 例4 D(x)

显然，在(??,??)内的任一点都是D(x)的第二类间断点，但D(x)在任意闭区间

?a,b?内不具介值性，由推论2知，D(x)在?a,b?内不存在原函数。

定义4:若函数f(x)在x0点处的左右极限至少有一个为无穷大，则称x0点为函数

f(x)的无穷型间断点。

定理3：:如果函数f(x)在?a,b?上可导，则导函数f?(x)在?a,b?上没有无穷型间断点。综上所述，可地如下推论：

推论3 设F(x)在?a,b?上可导，如果其导函数f(x)在?a,b?上存在间断点，则必为非无穷型间断点。

（三）导函数的有界性

定理4：如果F(x)在?a,b?上可导，则其导函数f(x)在?a,b?上必有界。

证明：如果f(x)在?a,b?上连续，显然在?a,b?上有界。如果f(x)在?a,b?上不连续，存在间断点，由推论3知，该间断点必为非无穷型间断点，则f(x)在?a,b?上仍有界。这就证明了闭区间上的可导函数在该区间上必有界。

（四）导函数的极限

1、导函数f(x)在x?x0处的极限与原函数F(x)在x?x0处的可导性

定理5：若函数F(x)在?a,b?内连续，在?a,b?中除点x0外处处可导，且

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存在，那么函数F(x)在x?x0处可导，且

。

证明：任取异于x0的x??a,b?，在?x0,x?或?x,x0?上应用Lagrange中值定理，有

F(x)?F(x0)?f(?),其中???x0,x?或?x,x0?。两边同取x?x0时的极限，

x?x0

。证毕。

例4已知f(x)?xarcsin1?x2，求f?(x)。

解：函数f(x)的定义域为??1,1?，当x???1,0???0,1?时，

f?(x)?(x)??arcsin1?x?x?2?1?x?2?21?1?x???arcsin1?x?2x2x1?x2。

可见f(x)在??1,1?内连续，在??1,1?中除点x?0外处处可导，且

因此，根据定理1

，故

f?(x)?

2、导函数f(x)在无穷远处的极限与原函数曲线F(x)的渐近线的关系

引理1 曲线F(x)具有斜率为k的渐近线的充分必要条件

。存在并且等

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