曲线积分和曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分

一．教学基本要求：

1．了解两类曲线积分的概念及它们的性质会计算两类曲线积分

2．掌握格林(Green)公式会用平面曲线积分与路径无关的条件计算曲线积分 3．了解两类曲面积分的概念会计算两类曲面积分知道高斯(Gauss)公式 4．能用曲线积分和曲面积分计算一些几何量和一些简单的物理量

二．重点： 对坐标的曲线积分的概念及其计算方法．格林公式及曲线积分与路径无关

的条件对坐标的曲面积分的概念及其计算方法、高斯公式

三．应该明确的几个问题：

问题l 为什么可以说曲线积分是定积分的推广?

答 这可以从两个方面来理解一是它们的物理解释，二是概念的数学结构.

从物理上，表示密度为f(x)的直线段杆的质量，表示密度为f(x，y)

的曲线段杆的质量；两者定义的数学结构相同.因此可以说，对弧长的曲线积分是定积分的推广.

另一方面在物理上可以解释为在外力f(x)的作用下，质点沿直线段由a移动到b时，

外力f(x)对质点所作的功．而作用下，质点

可以解释为在外力F=P(x,y)i+Q(x,y)dy

沿曲线弧，由A移动到B时，外力F对质点所作的功．因此可以认为，对坐标的曲线积分

也是定积分的推广。

对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分概念的数学结构也与定积分概念的数学结构相同，

都可以划分为“分割，近似、求和，取极限”三个步骤．因此可以说，曲线积分是定积分的推广．

问题2 计算曲线积分的基本途径是什么?应该注意什么条件? 答 计算曲线积分的基本途径是转化为定积分计算．

对弧长的曲线积分转换为定积分的条件为：f(x，y)在曲线弧上连续．

曲线弧AB的方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤β有连续导数，当t=α与t=β对应AB的两个端

点，且x′2+y′2)≠0，则

需注意，此处定积分的下限a一定要小于上限β!

对坐标的曲线积分+Q(x,y)dy转换为定积分的条件为：P(x，y)，

Q(x，y)为曲线弧上的连续函数，且弧的参数方程为x=x(t),y=y(t)，

当t单调地由α变到β时，点M(x，y)由A沿曲线弧变动到B；x(t),y(t)有连续导数，则

需注意定积分的下限α对应于曲线弧

的起点A；定积分的上限β对应于曲线弧

的终点B.

问题3 使用格林公式应该注意什么条件?

答 格林公式提供一类曲线积分的计算法，即沿封闭曲线的曲线积分可以转化为二重积分计算. 使用格林公式应该注意两个条件：

(1) P(x，y)与Q(x．y)在有界闭区域D内具有一阶连续偏导数；

(2) 曲线积分是沿区域D的封闭边界曲线L的正向如果所求曲线积分是沿区域D的封闭边界曲

线L的负向，利用格林公式时，应在二重积分前加一个负号。

问题4 若曲线积分与路径无关．怎样选择新的积分路径可以使得运算既简单又正确?

答 若与路径无关，则可以选择折线段．其中和分别

为平行于两个坐标轴的直线段这样可以简化运算在平行于x轴的直线段上有dy=0．在

平行于y轴的直线段上有dx=0．但是，必须注意，在选定的折线路与路径围

成的封闭区域D，应满足下列两个条件： (1)D为单连通域；

(2)P，Q在D内有一阶连续偏导数.

问题5 为什么可以说曲面积分是定积分的推广?

答 这个问题也可以从两个方面来理解一是它们的物理解释，二是概念的数学结构.

从物理上解释表示密度为f(x)的直线段杆[a．b]的质量．对面积的曲面积分

可以解释为密度为f(x，y，z)的曲面薄板三的质量．而且两种积分定义

的数学结构相同，都可以分为“分割，近似、求和，取极限”三个步骤，因此可以认为，

对面积的曲面积分是定积分的推广．

对坐标的曲面积分定义的数学结构也与定积分定义的数学结构相同，也可以认为是定积分的推广．

仿第九章问题1，若取Ω为平面曲线C，P：(z，y)，则表示曲线积分．

若Ω为空间曲线C，P=(x，y，z)，则表示曲线积分．

若Ω为曲面∑，P=(x，y，z)，则口表示曲面积分.．

从这个意义上看曲线积分与曲面积分为定积分的推广就较为自然了．

问题6 计算曲面积分的基本途径是什么?应该注意什么条件? 答 计算曲面积分的基本途径是转化为二重积分计算．

对面积的曲面积分，若曲面∑的方程是单值函数z=z(x，y)，∑在xOy面上的

投影区域为Dxy·z=z(x，y)在Dxy上有一阶连续偏导数．且f(x，y，z)在∑上连续。则有

dx dy.

如果曲面∑的方程可以表示为单值函数x=x(y，z)或y=y(z，x)，也有上述类似的结论.

对坐标的曲面积分，通常按

三部分计算，仅以为例：

若曲面∑为有向曲面，它的方程为单值函数z=z(x，y)且∑在xOy面上的投影区域为Dxy.

函数z=z(x，y)在D掣上有一阶连续偏导数；R(x，y，z)在∑上连续，则有

其中当∑取上侧时，右端二重积分前取正号；当∑取下侧时，上式右端二重积分前取负号

问题7 使用高斯公式时应该注意什么条件?

答 使用高斯公式可以求解封闭曲面积分，避免对投影区域的讨论，从而简化运算，

但是应该注意，在Ω内P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)应具有一阶连续偏导数，

曲面积分沿∑的外侧.

四．思考题

思考题l 下列运算是否正确?为什么?

求,其中C是从A(－1，0)沿y=x2一1到B(2，3)的弧段.

解 由于P=，Q=，,

因此所给曲线积分与积分路径无关．如果利用平行于坐标轴的平行折线段代替

，如图10．1所示．

解法1 取积分路径为折线段路径

，

则原式==+

解法2 取积分路径为折线段路径，

则原式==.

解法3 取积分路径为折线段路径，

则原式==

分析这里先指出上述三种运算中，解法1与解法2是错误的，解法3是正确的． 对于解法1，只需注意所给积分路径C与

构成封闭曲线，它所围成的区