【人教A版】必修4高中数学同步辅导与检测题：第三章3.1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(含答案)

第三章 三角恒等变换

3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

A级 基础巩固

一、选择题

1．sin 15°sin 75° 的值为( )

1313A. B. C. D. 2244

111解析：原式＝sin 15°cos 15°＝(2sin 15°cos 15°)＝sin 30°＝ .

224答案：C

2

2．已知sin α＝，则cos (π－2α)＝( )

35115

A．－ B．－ C. D.

39932

解析：因为sin α＝，

3

?2?2

所以cos (π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin α)＝－1＋2×?3?＝－

??

2

1. 9

答案：B

3.1－sin 24°等于( ) A.2cos 12°

B．2cos 12°

C．cos 12°－sin 12° D．sin 12°－cos 12° 解析：

1－sin 24°＝

sin2 12°－2sin 12°cos12°＋cos212°＝

1

（sin 12°－cos 12°）2＝

|sin 12°－cos 12°|＝cos 12°－sin 12°. 答案：C

4．已知cos???α＋π?1

4??＝4

，则sin 2α的值为( )

A.7733

8 B．－8 C.4 D．－4

解析：因为cos??π?α＋?1

4??＝4

， 所以sin 2α＝－cos???2α＋π???π??

2??＝－cos??2??α＋4????＝

1－2cos

2?

π??

?α＋

4??＝1－116×2＝78

. 答案：A

5．若α∈???0，π?1

2??

，且sin2 α＋cos 2α＝4，则tan α的值等于( A.22 B.3

3 C.2 D.3 解析：因为sin2 α＋cos 2α＝14，

所以sin2 α＋cos2 α－sin2 α＝cos2 α＝1

4 所以cos α＝±1

2

.

又α∈???

0，π?2??， 所以cos α＝13

2，sin α＝2.所以tan α＝3.

答案：D

)

2

二、填空题

ππ

6．(2016·四川卷)cos2－sin2＝________．

88πππ2

解析：cos2－sin2＝cos ＝. 8842答案：

2 2

θθ23

7．已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝________，cos 2θ＝

223________．

θθ23

解析：因为sin ＋cos ＝，

223θθ?24?

所以?sin 2＋cos 2?＝，

3??

1θθ4

即1＋2sin cos＝，所以sin θ＝，

2233

?1?27

所以cos 2θ＝1－2sin θ＝1－2×?3?＝.

9??

2

17

答案：

39

?π?3??＝，则sin 2x的值等于________． －x8．已知sin 4??5?π?3?π?

????＝ －x－2x解析：法一：因为sin4＝，所以cos 2??5???π??3?27

1－2sin4－x?＝1－2×?5?＝，

25????

2?

?π?7

?所以 sin 2x＝cos2－2x?＝. ??25

?π?323

法二：由sin?4－x?＝，得(sin x－cos x)＝－，

25??5

3

所以sin x－cos x＝－32

5，两边平方得

1－sin 2x＝18

25，

所以sin 2x＝7

25.

答案：

725

三、解答题 9．求证：

cos2α1

＝1

sin 2α－tan

α4. tan

α22

证明：法一：左边＝

cos2αα＝

cos2ααα

cos 2sin

α－

2

cos22－sin2

2sin

α2cos

αsin αα2

2cos 2

cos2αsin ααcos2αsin αα＝2cos

2

2cos 2

cos2α＝ 2－sin2

αcos α2

＝sin αα2cos 2cos α＝11

2sin αcos α＝4sin 2α＝右边．所以原式成立．

cos2αtan αα法二：左边＝212tan

2

1－tan2α＝2cos2α·α＝

21－tan2

2

4