关于行列式的一般定义和计算方法

a0 Dn?0? ? ?010a0? ? ?0000a? ? ?00? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a0100(按第n行展开) ? ? ?0a0an?1 ?(?1)0? ? ?000a? ? ?0000? ? ?0? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a1a0?(?1)2n?a? ? ? 0? ? ?a(n?1)?(n?1)0(n?1)?(n?1)?an?an?an?2?an?2(a2?1)?

n?1n?(?1)?(?1)

a? ? ?a(n?2)(n?2)x(2)Dn?? a? ?aax? ? ?a? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?aa; ? ? ?x? ? ?a? ? ?0? ? ?0? ? ? ?? ? ?0x?a 解 将第一行乘(?1)分别加到其余各行? 得 xaaa?xx?a0 Dn?a?x0x?a? ? ?? ? ?? ? ?a?x00再将各列都加到第一列上? 得

x?(n?1)aaa0x?a0 Dn?00x?a? ? ?? ? ?? ? ?000an(a?1)nan?1(a?1)n?1(3)Dn?1?? ? ?? ? ?aa?111? ? ?(a?n)n? ? ?(a?n)n?1; ? ? ?? ? ?? ? ?a?n? ? ?1? ? ?a? ? ?0? ? ?0?[x?(n?1)a](x?a)n?1? ? ? ?? ? ?0x?a 解 根据第6题结果? 有

11a?1n(n?1)a Dn?1?(?1)2? ? ?? ? ?an?1(a?1)n?1an(a?1)n? ? ?1? ? ?a?n? ? ?? ? ?

n?1? ? ?(a?n)? ? ?(a?n)n此行列式为范德蒙德行列式? Dn?1?(?1) ?(?1) 例3

n(n?1)2n?1?i?j?1?[(a?i?1)?(a?j?1)]

n(n?1)2n?1?i?j?1?[?(i?j)]

n?(n?1)?? ? ??12?(?1)n(n?1)2?(?1)?n?1?i?j?1?(i?j)

ba00abaD?a0abba0aaba0r1?r2?r3?r42a?b2a?b2a?b2a?b?aba0aba0a

r1?12a?b0?a0b?a?2a?b? ???2a?b?ba0ar?ar0a?b?ba?br?braba00b?a0?aa0abr2?r1413111111111?ab?a??2a?b?a?b?ba?b??2a?b???b?

b?a?ab?a0?a??2a?b???b?a2??b?a??b4?4a2b2

2?a0b?a??sin2?sin2?sin2??0.

练习3：证明: D?cos2?cos2?cos2?cos2?cos2?cos2?证明：

sin2?sin2?sin2??1cos2?1cos2?1cos2?左边?cos2?cos2?cos2?cos2?cos2?cos2?

2cos2??12cos2??12cos2??11111?11?11?1?2cos2?cos2?cos2??cos2?cos2?cos2??0?0?0 cos2?cos2?cos2?

从最后一行开始，每行减去上一行，得到： 1 2 3 ... n-1 n 1 1 1 ... 1 1-n ... ... ... ...

1 1-n 1 ... 1 1

然后做列变换，从各列中减去第一列，得到： 1 1 2 ... n-2 n-1 1 0 0 ... 0 -n ... ... ... ...

1 -n 0 ... 0 0

再把各列乘以(1/n)，加回到第一列，得到： (n+1)/2 1 2 ... n-2 n-1 0 0 0 ... 0 -n ... ... ... ...

0 -n 0 ... 0 0

最后沿第一列展开得到结果是(1/2)*(n+1)*n^{n-1}*(-1)^{(n-1)(n-2)/2}