关于行列式的一般定义和计算方法

则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得

Dk?1?xDk?ak?1

?x(xk?a1xk?1?L?ak?1x?ak)?ak?1 ?xk?1?a1xk?L?ak?1x2?akx?ak?1

由此，对任意的正整数n，有

Dn?xn?a1xn?1?L?an?2x2?an?1x?an

9．拆开法

把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。

例9 计算行列式 Dn?a1??1a2La1a2??2LMa1ananMan??nMa2ananMMLan??n

解：Dn?a1a2La1a2??2LMa1Ma2a2L?2LML0L?1?0M0a2La2??2LM0LLananMan??nLL

a10?M0anan??1Dn?1 M?n?a1?2L?n??1Dn?1

……

n?a??1?2L?n?1??i?i?1?i?? ?上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。

ax?byay?bzaz?bxxyz(1)ay?bzaz?bxax?by?(a3?b3)yzx; az?bxax?byay?bzzxy 证明

ax?byay?bzaz?bx ay?bzaz?bxax?by

az?bxax?byay?bzxay?bzaz?bxyay?bzaz?bx ?ayaz?bxax?by?bzaz?bxax?by

zax?byay?bzxax?byay?bzxay?bzzyzaz?bx ?a2yaz?bxx?b2zxax?by

zax?byyxyay?bzxyzyzx ?a3yzx?b3zxy

zxyxyzxyzxyz ?a3yzx?b3yzx

zxyzxyxyz ?(a3?b3)yzx?

zxy关于行列式的消项（其中C代表列··R代表行）

a2abb2(2)2aa?b2b?(a?b)3;

111 证明

a2abb2c2?c1a2ab?a2b2?a2 2aa?b2b?????2ab?a2b?2a

00111c3?c11222ab?ab?aab?a?(a?b)3 ?(b?a)(b?a)1 ?(?1)2b?a2b?2a3?11a(3)a2a41bb2b41cc2c41d d2d4 ?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d); 证明 1a a2a41bb2b41cc2c41d d2d411110b?ac?ad?a ?0b(b?a)c(c?a)d(d?a)（c2 ,c3 ,c4减数字去第一

0b2(b2?a2)c2(c2?a2)d2(d2?a2)列的）

111cd ?(b?a)(c?a)(d?a)b

222b(b?a)c(c?a)d(d?a)111c?bd?b ?(b?a)(c?a)(d?a)0

0c(c?b)(c?b?a)d(d?b)(d?b?a)1 ?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)c(c?1b?a)d(d?b?a)

=(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d)?

x0(4)? ? ?0an

?1x? ? ?0an?10?1? ? ?0an?2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?0000?? ? ??xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ? x?1a2x?a1 证明 用数学归纳法证明?

x?1?x2?ax?a? 命题成立? 当n?2时? D2?a122x?a1 假设对于(n?1)阶行列式命题成立? 即 Dn?1?xn?1?a1 xn?2? ? ? ? ?an?2x?an?1? 则Dn按第一列展开? 有

?1 Dn?xDn?1?an(?1)n?1 ? x? ? 10?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 00 ? ? ? x00 ? ? ? ?1 ?xD n?1?an?xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ?

因此? 对于n阶行列式命题成立? 6? 设n阶行列式D?det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转? 依次得 an1? ? ?anna1n? ? ?annann? ? ?a1n D1?? ? ?? ? ?? ? ?? D2?? ? ?? ? ?? ? ? ? D3?? ? ?? ? ?? ? ??

a11? ? ?a1na11? ? ?an1an1? ? ?a11证明D1?D2?(?1)n(n?1)2D? D3?D ?

? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1nann ? ? ?a2n 证明 因为D?det(aij)? 所以 a11an1? ? ?annD1?? ? ?? ? ?? ? ??(?1)n?1an1? ? ?a11? ? ?a1na21a11a21 ?(?1)n?1(?1)n?2an1? ? ?a31? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1na2nann? ? ? ? ? ? ?a3nn(n?1)2 ?(?1) 同理可证

1?2?? ? ??(n?2)?(n?1)D?(?1)D?

D2?(?1)n(n?1)2a11? ? ?an1n(n?1)n(n?1)? ? ?? ? ?? ? ??(?1)2DT?(?1)2D? a1n? ? ?annn(n?1)2n(n?1)2D3?(?1)D2?(?1)(?1)D?(?1)n(n?1)D?D

7? 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)?

n(n?1)2 (1)Dn?是0? 解

a1? ? ?1a, 其中对角线上元素都是a? 未写出的元素都