关于行列式的一般定义和计算方法

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3 计算n阶行列式

abD?bLbbabLbbbaLbLLLLLbbb La 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得

a?(n?1)ba?(n?1)bD?a?(n?1)bbabbbaLbbabLbbLLLLLbbaLbbbb LaLLLLLbbbb LaLb00 La?bLLa?(n?1)bb11?[a?(n?1)b]1L110?[a?(n?1)b]0L0a?b0L0a?bLL0L0LL?[a?(n?1)b](a?b)n?1

4．降阶法

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

例4 计算n阶行列式

a00L0a0LDn?00aLMMM000L100L010000 MMa00a解 将Dn按第1行展开

a00L0a0LDn?a00aLMMM000L00a0L00M a0000aL0?(?1)n?1MMMMa000L100L?an?(?1)n?1(?1)nan?2

?an?an?2.

5．逆推公式法

逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中Dn, Dn－1, Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。

例5 证明

x0Dn?L0an?1xL0?1LLLL00Lxa200L?1a1?x

00Lan?1an?2L?xn?a1xn?1?a2xn?2?L?an?1x?an,(n?2)

证明：将Dn按第1列展开得

x0Dn?xL0an?1?1xL0an?20?1L0an?3LLLLL00Lxa200L ?1a1?x?1?(?1)n?1anxL0?an?xDn?1

0L0LLL00Lx00L?1?1L

由此得递推公式：Dn?an?xDn?1，利用此递推公式可得

Dn?an?xDn?1?an?x(an?1?xDn?2)

?an?an?1x?x2Dn?2

?L?an?an?1x?L?a1xn?1?xn

6．利用范德蒙行列式 例6 计算行列式

D?1x1?1x12?x1Mx1n?1?x1n?21x2?12x2?x2LLL1xn?12xn?xnMn?1n?2xn?xn

Mn?1n?2x2?x2L解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式

1x1D?x12Mx1n?11x22x2MLLL1xn2xn?Mn?1xnn?i?j?1?(xi?xj)

n?1x2L7．加边法（升阶法）

加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

例7 计算n阶行列式

x?a1a1Dn?a1La11a10M0a2x?a2a2La2LDnanLLLLLananan Lx?an 解： Dn?

1?1i?2,L,n?1?1第i行减第1行a1x0a2L0xL0xa1x00an00（箭形行列式） Lxa2L0x0LLLan0 0xLLLLLL?101??j?1naj?000na??x?1??jj?1x?n?? ?8．数学归纳法 例8 计算n阶行列式

x0Dn?L0an?1xL0?1LLLL00Lxa200L?1a1?x

00Lan?1an?2L解：用数学归纳法. 当n = 2时

D2?xa2?1?x(x?a1)?a2 x?a1?x2?a1x?a2

假设n = k时，有

Dk?xk?a1xk?1?a2xk?2?L?ak?1x?ak