高三数学一轮复习课时作业2：导数的综合应用

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3.3导数的综合应用

一、选择题

1．若直线y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为( ) A．－2＜m＜2

B．－2≤m≤2 D．m≤－2或m≥2

C．m＜－2或m＞2

图2－12－3

2．在R上可导的函数f(x)的图象如图2－12－3所示，则关于x的不等式x·f′(x)＜0的解集为( )

A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

π1

3．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x) 在区间『0，』上的值域为( )

22π

11A．『，e2』

22π

C．『1，e2』

π

11

B．(，e2)

22

π

D．(1，e2)

4．(2013·潍坊模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )

A．(－1，1)

B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

图2－12－4

1

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5．(2013·青岛模拟)如图2－12－4为一圆锥形容器，其底面圆的直径等于圆锥母线长，1

水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝分钟时的瞬时变化率为(注：

27π≈3.1)( )

A．27分米/分钟 B．9分米/分钟 C．81分米/分钟 D．99分米/分钟

6．(2012·湖南高考)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)ππ

的导函数，当x∈『0，π』时，00.则函数y

22＝f(x)－sin x在『－2π，2π』上的零点个数为( )

A．2 B．4 C．5 D．8 二、填空题

π

7．若f(x)＝xsin x＋cos x，则f(－3)，f()，f(2)的大小关系为________．

2

8．(2013·中山模拟)若函数f(x)满足：“对于区间(1，2)上的任意实数x1，x2(x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|＜|x2－x1|恒成立”，则称f(x)为完美函数，给出以下四个函数 ．．．．

11

①f(x)＝；②f(x)＝|x|；③f(x)＝()x；④f(x)＝x2.其中是完美函数的序号是________．

x29．已知函数f(x)＝x2＋mx＋ln x是单调递增函数，则m的取值范围是________． 三、解答题

10．(2013·潍坊模拟)已知定义在区间『－2，t』(t＞－2)上的函数f(x)＝(x2－3x＋3)ex. (1)当t＞1时，求函数y＝f(x)的单调区间； (2)设m＝f(－2)，n＝f(t)，试证明m＜n.

11．(2013·济南模拟)济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k＞0)．现已知相距36 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．

(1)试将y表示为x的函数；

(2)若a＝1时，y在x＝6处取得最小值，试求b的值．

t－13

12．(2013·宁波模拟)已知函数f(x)＝2x3＋tx2－3t2x＋，x∈R，其中t∈R.

22(1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

2

高三数学一轮复习精品资料 (2)当t≠0时，求f(x)的单调区间；

(3)证明：对任意的t∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0，1)内均存在零点．

解析及答案

3

高三数学一轮复习精品资料 一、选择题

1．

『解析』 y′＝3(1－x)(1＋x)，

由y′＝0，得x＝±1，∴y极大＝2，y极小＝－2，∴－2＜m＜2.

『答案』 A

2．

『解析』 (1)当x∈(－∞，－1)和x∈(1，＋∞)时，f(x)是增函数，

∴f′(x)＞0，因此x＜0，

∴x·f′(x)＜0的范围是(－∞，－1)． (2)当－1＜x＜1时，f(x)递减，∴f′(x)＜0. 由x·f′(x)＜0，得x＞0，∴0＜x＜1. 故x·f′(x)＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．

『答案』 A

3．

π11

『解析』 f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x，当0＜x＜时，f′(x)＞0，

222π

∴f(x)是『0，』上的增函数．

2π

π1

∴f(x)的最大值为f()＝e2，

221

f(x)的最小值为f(0)＝.

2π11

∴f(x)的值域为『，e2』．

22

『答案』 A

4．

『解析』 由已知，『f(x)－(2x＋4)』′＝f′(x)－2＞0，

∴g(x)＝f(x)－(2x＋4)单调递增，又g(－1)＝0， ∴f(x)＞2x＋4的解集是(－1，＋∞)．

『答案』 B

5．

4