福建省龙岩市2020届高三下学期3月教学质量检查 数学(理)(含答案)

题号 选项 1 C 2 D 3 D 4 A 5 A 6 B 7 B 8 D 9 C 10 B 11 C 12 B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． 2?8o（或120） 15．3 16．33

12．略解一：把N画到B处，Q在CC1上，M在AA1上，设AM?x,CQ?y不妨设y?x，

13．x?y?1?0 14．

BM?x2?4,BQ?y2?4,MQ?(y?x)2?4,此时?BMQ?90o

22222由BM?MQ?BQ，得x?xy?2?0,?y?x?

x4412S?x?4?(y?x)2?4，?S2?x2?2?5?2x2?2?5?9

xx2?S?3，当且仅当x?2时取等号，Smin?3.

略解二：以AC中点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，

建立空间直角坐标系，设M(0,?1,a)，N(3,0,b),Q(0,1,c)，不妨设N为直角，

MN?(3,1,b?a),QN?(3,?1,b?c)，所以MN?QN?0，

114?（b?a)2?4?(b?c)2 ?（b?a)(b?c)?2?0,S?|MN|?|QN|?22116?4[(b?a)2?(b?c)2]?[(b?a)(b?c)]22 1?16?16?4?32?16．解：QsinC?2sinA，?ABsinC??2为非零常数，故点B的轨迹是圆. CBsinA以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系 则A(?2,0),C(2,0)，设B(x,y)QAB?2CB，

22?(x?2）?y2?2(x?2）?y2

1083x2?3y2?20x?12?0，整理得(x?)2?y2?()2

338因此，当?ABC面积最大时，BC边上的高为圆的半径.

3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 解：（1）?a6?11，?a1?5d?11① …………………………2分

2?a2a14，??a2,a5,a14成等比数列，?a5（a1?4d)2?(a1?d)(a1?13d)

化简得6a1d?3d，?d?0，?2a1?d② …………………………4分 由①②可得，a1?1,d?2 所以数列的通项公式是an?2n?1

……………………………6分

2 5 / 10

（2）由（1）得bn?1111?(?)……………………9分

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1

111111?Sn?b1?b2???bn?(1???????)

23352n?12n?111n?（1?)?……………………………………12分 22n?12n?1

18．（本小题满分12分）

解：（1）证明：如图，连接D1C，则D1C?平面ABCD，

QBC?平面ABCD, ?BC?D1C………………2分

在等腰梯形ABCD中，连接AC，过点C作CG?AB于点G，

QAB?4，BC?CD?2,AB//CD，

则AG?3,BG?1，CG?22?12?3 ?AC?AG2?CG2?32?(3)2?23 因此满足AC2?BC2?16?AB2，?BC?AC又D1C,AC?面AD1C，D1CIAC?C

…………………………5分

?BC?平面AD1C …………………………6分 （2）由（1）知AC,BC,D1C两两垂直，

∵D1C?平面ABCD，??D1DC??4，?D1C?CD?2

以C为坐标原点，分别以CA,CB,CD1所在直线为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系， …………………………7分 则C(0,0,0)，A(23,0,0)，B(0,2,0)，D1(0,0,2)，

uuuruuuur?AB?(?23,2,0)，AD1?(?23,0,2) uuurrr???AB?n?0??23x?2y?0设平面ABC1D1的法向量n?(x,y,z)，由?uuuu得? rr??AD1?n?0???23x?2z?0r可得平面ABC1D1的一个法向量n?(1,3,3)， ……………………………9分 uuuur又CD1?(0,0,2)为平面ABCD的一个法向量， ………………………10分 设平面ABC1D1与平面ABCD所成锐二面角为?

uuuururCD1?n2321则cos??uuuu ?rur?7CD1n27因此平面ABC1D1与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为

19．（本小题满分12分）

解：（1）由于猪的体重X近似服从正态分布X~N(70,23),

设各阶段猪的数量分别为n1,n2,n3

221…………12分 7

6 / 10

?P(1?X?24)?P(70?3?23?X?70?2?23)?0.9974?0.9544?0.02152

?n1?10000?0.0215?215（头）；

同理，P(24?X?116)?P(70?2?23?X?70?2?23)?0.9544 ?n2?10000?0.9544?9544（头）

0.9974?0.9544P(116?X?139)?P(70?2?23?X?70?3?23)??0.02152?n3?10000?0.0215?215

所以，甲养猪场有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头.

………………………………6分（每个2分）

34（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为,，

45随机变量Y可能取值为1100,400,?300.

34331147P(Y?1100)???，P(Y?400)?????，

455454520111P(Y??300)???

4520所以Y的分布列为： 1100 400 ?300 Y 371 P 52020371?300??785（元） ………………10分 所以E(Y)?1100??400?52020由于各养猪场均有215头成年期猪，一头猪出售的利润总和的期望为785元，

则总利润期望为785?215?168775（元）. ………………………12分

20．（本小题满分12分） 解：（1）由已知得，

1p|OF|?2?1，即?1，解得p?2， 222所以C的方程为x?4y …………………………4分 （2）由（1）得P(2,1)，设直线PA斜率为k1，则PA方程为y?1?k1(x?2)，

2|k1?1|即k1x?y?1?2k1?0,?直线PA与圆相切，??r，

2k1?1?（4?r2)k12?8k1?4?r2?0 …………………………6分

（4?r2)k22?8k2?4?r2?0 设直线PB斜率为k2，同理得

?k1,k2是方程?（4?r2)k2?8k?4?r2?0的两个根

??4r2(8?r2)?0(?0?r?2)

8?k1?k2?2，k1k2?1 ………………………………8分

r?4设A(x1,y1),B(x2,y2)

7 / 10

2?x?4y?x1?4k1?2，同理x2?4k2?2……………………………9分

由??y?1?k1(x?2)2得x?4k1x?8k1?4?0，由韦达定理得x1?2=4k1

2x2x12?y2?y14?1(x?x)?k?k?1?8?1………10分 ?4所以kAB?1212x2?x1x2?x14r2?48??2?kAB?(?5,?3) ?0?r2?2，??4?2r?4?直线AB斜率的取值范围是(?5,?3)……………………12分

21．（本小题满分12分） 解：（1）f'(x)?lnx?x?

1?2ax?lnx?2ax?1(x?0)……………………………1分 x

?lnx1?lnx1?lnx,则Q'(x)?2 令f（，记Q(x)?'x)?0,得2a?xxx令Q'(x)?0，得0?x?1；令Q'(x)?0，得x?1

?Q(x)在(0,1)上是增函数，在(1,??)上是减函数，且Q(x)最大=Q(1)?1

?当2a?1,即a?1时，f'(x)?0无解，?f(x)无极值点 211?lnx当2a?1,即a?时，f'(x)?0有一解，2a?，即lnx?2ax?1?0

x2f'(x)?0恒成立，?f(x)无极值点

1当0?2a?1，即0?a?时，f'(x)?0有两解，?f(x)有2个极值点

2当2a?0即a?0时，f'(x)?0有一解，f(x)有一个极值点.

11综上所述：当a?,f(x)无极值点；0?a?时，f(x)有2个极值点；

22当a?0，f(x)有1个极值点. …………………………5分

2（2）g(x)?xlnx?ax?x，g'(x)?lnx?2ax(x?0)

lnx令g'(x)?0，则lnx?2ax?0，?2a?

xlnx1?lnx记h(x)?，则h'(x)?

xx2由h'(x)?0,得0?x?e，由h'(x)?0，得x?e， ?h(x)在(0,e)上是增函数，在(e,??)上是减函数

1hmax(x)?h(e)?,当x?e时，f(x)?0

e11?当0?2a?即0?a?时

e2eg(x)有2个极值点x1,x2 ………………………………7分

8 / 10