备战2019中考初中数学导练学案50讲：备战2019中考初中数学导练学案50讲—第26讲图形的相似与位似(讲练版)

备战2019中考初中数学导练学案50讲

第26讲 图形的相似与位似

【疑难点拨】

1. 三角形相似的“基本图形”：几何图形大都由基本图形复合而成,因此熟悉三角形相似的基本图形,有助于快速准确地识别相似三角形,从而顺利找到解题思路和方法.

（1）平行线型： 如图1、图2,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图1为“A”型,图2为“X”型,故称之为平行线型的基本图形.

（2）相交线型：如图3、图4,若∠AED=∠B,则△ADE∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.

图3 图4

（3）母子型：将图5中的DE向下平移至点C,则得图5,有△ACD∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地,令∠ACB=

,CD则为斜边上高(如图6), 则有△ACD∽△ABC∽△CBD.

（4）旋转型：将图7中的△ADE绕点A旋转一定角度,则得图11,称之为旋转型的基本图形.

2.正确运用相似三角形的“对应”关系：在证两个三角形相似时，和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边．（1）有的根据题设条件，两个三角形相似的对应性没有明确，具有结论的不确定性，因而应分两种情况解答此题．（2）因为题设只要求两个直角三角形相似，并没有指明具体的对应关系．同样具有结论的不确定性，因此本题应分两种情况解答．

3. 怎样寻找相似三角形：证明线段的比例式（或等积式）的常用方法是利用相似三角形，常见的几种策略：

（1）三点定型法，基本方法就是找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论；

（2）等线段代换法，有时求证比例式中的四条线段都在图形的同一条直线上，不能组成三角形，或即使四条线段能构成两个三角形，但这两个三角形根本不相似，这时，我们可以根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替，再用三点定型法确定相似三角形；

（3）等式代换法，当用三点定型法不能确定三角形，或虽然能确定三角形，但这两个三角形不可能相似，同时也无等线段代换时，可考虑用等比代换法，即用“中间比”进行转换，然后再用“三点定型法”确定三角形． 【基础篇】 一、选择题：

1. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，

，则EC的长是（ ）

A．4.5 B．8 C．10.5 D．14

2. ．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）

A．B．C．D．

3. 如图，△ABC经过位似变换得到△DEF ， 点O是位似中心且OA=AD ， 则△ABC与△DEF的面积

比是（ ）

A、1：6 B、1：5 C、1：4 D、1：2 4. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．

对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）

A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对

5. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图： 第一步，分别以点A、D为圆心，以大于

AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；

第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F； 第三步，连接DE、DF．

若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

二、填空题：

6. （2018?山东菏泽?3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是 ．

7. （2018年四川省南充市）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F．若AD=1，BD=2，BC=4，则EF= ．

8. （2018·四川宜宾·3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于 .

三、解答与计算题：

9. 如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？

10. 定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点． 如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；