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高一数学必修4平面向量复习
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念：
????① 向量：既有_____又有______的量 向量的大小即向量的_____，记作|AB| 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
?②零向量：长度为0的向量，记为______，其方向是任意的，规定：0与任意向量_____ ?????零向量a＝0?｜a｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关
向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量a0为单位向量?｜a0｜＝1
????④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ??⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为a?b 2向量加法 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： 3向量的减法 三角形法则
??4实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）?a???a； （Ⅱ）当??0时，λa的方向与a的方向相同；当??0时，
????????λa的方向与a的方向相反；当??0时，?a?0，方向是任意的
?????a5两个向量共线定理：向量b与非零向量共线?有且只有一个实数，使得b=?a 6平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的
??任一向量a，有且只有一对实数?1,?2使：a??1e1??2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
????????????????练习：设非零向量a、b不共线，c=ka+b，d=a+kb (k?R)，若c∥d，试求k
7、平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j???????作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a?xi?yj，由于a与
???数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x
轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标 8平面向量的坐标运算：
??(1) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?_____________
(2) 若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则AB?__________________ (3) 若a=(x,y)，则?a=_______________
????(4) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b? _______________ ??(5) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?_________________
??若a?b，则___________________
9、两个向量的数量积：
????已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a·b=_________________
????叫做a与b的数量积（或内积） 规定0?a?0 ????若两个向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a·b=x1x2?y1y2 ?????a?b10向量的投影：︱b︱cos?=?∈R，称为向量b在a方向上的投影 |a|11、数量积的应用：①模长公式：a?a?a2?|a|2 ②夹角公式：cos??????a?b|a|?|b|?_________
????③垂直：a⊥b?a·b＝O?____________
5乘法公式成立：
???????????a?b??a?2a?b?b22?????2?2?2?2a?b?a?b?a?b?a?b；
2?2???2?a?2a?b?b
例1 判断下列各命题正确与否：
??????????（1）0?a?0；（2）0?a?0；（3）若a?0,a?b?a?c，则b?c； ????????⑷若a?b?a?c，则b?c当且仅当a?0时成立；
?2?2??????????（5）(a?b)?c?a?(b?c)对任意a,b,c向量都成立；（6）对任意向量a，有a?a
??????????0例2已知两单位向量a与b的夹角为120，若c?2a?b,d?3b?a，试求c与d的夹角
????????例3 已知a??4,3?，b???1,2?，m?a??b,n?2a?b，按下列条件求实数?的值 （1）m?n；（2）m//n；(3)m?n
二、高考题
??????????1 ．（2013年辽宁卷（文））已知点A?1,3?,B?4,?1?,则与向量AB（ ） 同方向的单位向量为A．?，-?3?54?? 5?B．?，-?
?4?53?5?C．??，?
?34??55?D．??，?
?43??55?????2 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点A(?1,1)、B(1,2)、C(?2,?1)、D(3,4),则向量AB在
????CD方向上的投影为（ ）
A．32 2B．315 2C．?32 2D．?315 23 ．（2013年大纲卷（文））已知向量m????1,1?,n????2,2?,若?m?n???m?n?,则?=
A．?4 B．?3 C．-2 D．-1 4 ．（2013年高考湖南（文））已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|
的最大值为（ ）
A．2?1
B．2
C．2?1
D．2?2
5 ．（2013年高考陕西卷（文））已知向量 a?(1,m),b?(m,2), 若a//b, 则实数m等于（ ）
A．?2 B．2 C．?2或2 D．0
6 ．（2013年福建卷（文））在四边形ABCD中,AC?(1,2),BD?(?4,2),则该四边形的面
积为（ ） A．5
B．25
C．5
D．10
7 ．（2013年高考四川卷（文））如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点
????????????O,AB?AD??AO,则??_____________.
8．（2013年高考天津卷（文））在平行四边形ABCD中, AD = 1, ?BAD?60?, E为CD的中
????????BE?1, 则AB的长为______. 点. 若AC·
????????OA为边,OB为对角线的矩形中,OA?(?3,1),OB?(?2,k),9．（2013年高考重庆卷（文））
则实数k?____________.
????????10．（2013年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy中,已知OA?(?1,t),OB?(2,2),
若?ABO?90o,则实数t的值为______
11．（2013年高考浙江卷（文））设e1.e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x.y∈R..若e1.e2的
夹角为
|x|?,则的最大值等于_______. |b|6????????12．（2013年高考安徽（文））若非零向量a,b满足a?3b?a?2b,则a,b夹角的余弦值
为_______.
13．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的 中点,则
????????AE?BD?________.
14．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知两个单位向量a,b的夹角为60,c?ta?(1?t)b,
?若b?c?0,则t?_____.
????， k),b?(9，15．（2013年上海高考）已知向量a?(1 k?6).若a//b,则实数 k?
__________
????16．（2013年高考山东数学（理））已知向量与
AB????????????AC的夹角为120°,且AB?3,AC?2,
????????????????????若AP??AB?AC,且AP?BC,则实数?的值为__________.
用坐标法解题
17 ．（2013年高考浙江数学（理）试题）设?ABC,P0B?0是边AB上一定点,满足P1AB,4且对于边AB上任一点P,恒有PB?PC?P0B?P0C.则（ ） A．?ABC?900 B．?BAC?900 C．AB?AC
18、设点P在?ABC内部，5AP?2AB?AC?0，则
19、设点O在?ABC内部，OA?2OB?3OC?0，则
20、设点P在?ABC内部，且PA?xPB?yPC，若
D．AC?BC
S?ABP?__________ S?ABCS?ABC?___________ S?AOCS?ABP1x?，求
yS?ACP2
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