概率统计练习册习题解答（定）名师制作优质教学资料

求X的边缘密度：当

fX?x???????f?x,y?dy。

x?0或x?1时，fX?x??0；

当0?x?1时，

fX?x??fY?106xy2dy?2x??。

求Y的边缘密度函数： 当

?y?????1f?x,y?dx。

y?0或y?1时，fY?y??0；

fY?y??0?y?1时，当

由于对任x，y，有

?06xy2dx?3y2。

f?x,y??fX?x?fY?y?。所以，X与Y相互独立。

?1?y/2?e,fY(y)??2??0,y?0． y?025．设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,1）内服从均匀分布，Y的概率密度为

（1）求X与Y的联合概率密度；（2）设关于a的二次方程为 a?2Xa?Y?0，求此方程有实根的概率。

?1,?0,f(x)()解：由X~U0，1知X的密度为：X=?由X与Y独立知，(X,Y)的一个联合密度为：

y?1?2?e,x(?f)Yy(?)?2?0,?0?x?1;其他.

f(x,y)?fX0?x?1,y?其他.0; 方程有实跟的概率为：

22?0 P(4X?4Y?0)?P(X?Y?0)?11(?x20x1?21?edy)dx?1?e2dx?02 y2?1?2?(? 12???e?x22dx??012???e?x22dx)?1?2?(?(1)??(0)0.482??)1?7。 习题2-6 随机变量函数的分布

1．设随机变量X的分布列为

X -2 1/6 2-1 1/3 0 1/6 1 1/3 pk 试求：(1)Y?2X?1，(2)Z?X的分布列。

解：

Y?2X?1 ?5 pk ?3 13 ?1 1 Z?X2 pk 0 1 4 16 14 15 16 23 16 2．设随机变量X?U(0,1)，试求Y?eX的密度函数。

??1,0?x?1,f(x)??xX0,其他.?X?U(0,1)y?g(x)?e?Y?e解：由知其密度函数为设，函数. 则

??min{g(??),g(??)}?0，??max{g(??),g(??)}???.所以，当y?(0,??)时，fY(y)?f(lny)111?f(lny)fY(y)?yy.从而，当0?lny?1，即1?y?e时，y。 ?1?x?0,0?x?2,试求Y?X2的密度函数fY(y)。 其他.?1?2,??13．设连续型随机变量X的密度函数为 f(x)??,?4?0,??2F(y)F(y)?P(Y?y)?P(X?y). YYY解：先求的分布函数，在对其求导数.

y当y?0时，FY(y)?0，故fY(y)?0；当y?0时，1FY(y)??dx?2?y0yFY(y)?P(?y?X?y)??y?f(x)dx. ?y??1，即0?y?1时，当?y??1且当?013dx?y4401?3fY(y)?FY?(y)?y28，故，； yy?2，即1?y?4时，1FY(y)??dx?2?1?0111dx??y424，故，1?1fY(y)?FY?(y)?y28； 当

?y??1且y?2，即4?y时，FY(y)?1，故fY(y)?0. 4. 设随机变量X与Y相互独立，且X，Y的概率分布分别为

X 0 1 Y 1 2 p 1 43 4p 2 53 5试求随机变量??X?Y及??XY的各自概率分布列。

解：P(??1)?P(X?Y?1)?P(X?0,Y?1)?P(X?0)P(Y?1) P(??2)?P(X?Y?2)?P(X?0,Y??110， 2?)PX(?1,Y ?369???P(X?1)PY(?20202，0 ?P(X?0)P(Y?2)?P(??3)?PX(?Y? 3?)PX(?Y1?,?P2)X?(PY1?)?(92)20， ?P(X?0Y,? P(??0)?P(XY?0)1)?PX(?22?)200Y,? 31??20，4 31)10， 92)20。 ?P(X?0)P(Y?1)?P(X?0P)Y(? P(??1)?PXY(? 1?)PX(?Y1?,?P1)X?(PY1?)?(P(??2)?PXY(? 2?)PX(?Y1?,?P2)X?(PY1?)?(5．设随机变量X?U(0,1)，Y?E(1)且X与Y相互独立，试求Z?X?Y的密度函数。 解：由X?U(0,1)，Y?Exp(1)知，X与Y的密度函数分别为

?y?1,0?x?1,?e??,fX(x)??fY(y)?????0,其他. 及 ?0,y?0,y?0.

又由X与Y相互独立知(X,Y)的一个联合密度函数为

?y??e,f(x,y)????0,0?x?1,y?0,其他.

f(z). 由于X与Y相互独立，从而fZ(z)?设Z?X?Y的密度函数为Z?????fX(x)fY(z?x)dx.

?0?x?1,?f(z?x)f(x)z?x?0. 所以，当z?0时，fZ(z)?0YX由，不等于零的区域知?；

当0?z?1时，

所以，

fZ(z)??1?e0z?(z?x)dx?1?e?z；当z?1时，

fZ(z)??1?e?(z?x)dx?e?z(e?1)01.

?1?e?z,0?z?1,??fZ(z)??e?z(e?1),z?1,?z?0.??0,

习题3-1 数学期望

1．填空题

（1）设二维随机变量(X,Y)?N(10,2,1,1,0)，则E(?2XY?Y?5)? 33 。 （2）设随机变量X?P(2)，Y?U(0,6)，若Z?2X?3Y?3，则E(Z)? -8 。 2．设X的分布列为：

X P 1 1 2 211111 366124-1 0 求（1）E(X)；（2）E(?X?1)；（3）E(X2)。

111111(1)E(X)?(?1)????1??2??3261243， 解：(2)E(?X?1)??E(X)?1?23， 1111135(3)E(X2)?(?1)2??()2??12??22??32612424。 3．把4个球随机地放入4个盒子中去，设X表示空盒子的个数，求E(X)。

2112112C4(C2C4?C4)84C4C3C4?2!1444!24P(X?0)?4?P(X?1)??P(X?2)??444256，4256，256，4解： 3C44P(X?3)?4?256。 4 E(X)?1?故14484432481?2??3???25625625625664。 4．设连续型随机变量X的密度函数为

0?x?1?x,?f(x)??2?x,1?x?2，

?0,其他?求（1）EX，（2）E|X?EX|。

解：

E(X)??????xf(x)dx??x?xdx??x(2?x)dx?101??1212，

E(X?EX)??

??x?1f(x)dx??0(1?x)xdx??1(x?1)(2?x)dx?13。 5．设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列为

Y X 0 1 0 0.3 0.2 1 0.4 0.1 求：（1）E(X),E(Y)；（2）E(X?2Y),E(3XY)。