2021版浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

?π?

因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sin?＋φ?＋6，

?2?

π

结合表中数据得＋φ＝2kπ，k∈Z，

2

ππ?ππ?

可取φ＝－，所以y＝sin?x－?＋6＝6－cosx.

22?22?π

答案：y＝6－cosx

2

9．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点A(0，1)，π

B?，－1?，则f(x)＝________． ?3?

?π?解析：因为图象经过点A(0，1)，B?，－1?，

?3?

πTπ

A，B两个点的纵坐标互为相反数，从点A到点B经过半个周期，所以＝＝，解得

32ωω＝3.

又因为图象经过点A(0，1)，f(x)＝2sin(ωx＋φ)， 1

所以1＝2sin φ，即sin φ＝，

2

π

所以由0<φ<π及函数的图象可得φ＝，

6π??

所以f(x)＝2sin?3x＋?.

6??π

答案：2sin?3x＋?

6??

10．函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是最高点、最低点，→→

O为坐标原点，且OM·ON＝0，则函数f(x)的最小正周期是________．

1?

解析：由题图可知，M??2，1?，N(xN，－1)，

1?1→→

，1·(xN，－1)＝xN－1＝0， 所以OM·ON＝??2?2

1

2－?＝3. 解得xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×??2?答案：3

11．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，0<φ<π)．

(1)求解析式；

(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52 ]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．

12π

解：(1)由图象知A＝10，·＝14－6，

2ωπ?πt?

所以ω＝，所以y＝10sin?＋φ?＋b.①

8?8?ymax＝10＋b＝30，所以b＝20. 3π

当t＝6时，y＝10代入①得φ＝，

4

?π3π?

所以解析式为y＝10sin?t＋?＋20，t∈[6，14]．

4??8

(2)由题意得，

?π3π?

20－52≤10sin?t＋?＋20≤20＋52，

?84?

即－2?π3π?2≤sin?t＋?≤， 24?2?8

ππ3ππ

所以kπ－≤t＋≤kπ＋，k∈Z.

4844即8k－8≤t≤8k－4，

因为t∈[6，14]，所以k＝2，即8≤t≤12， 所以最佳营业时间为12－8＝4小时．

12．已知函数f(x)＝2sin x＋6cos x(x∈R)． (1)若α∈[0，π]且f(α)＝2，求α；

1

(2)先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象

23π

上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，求θ的最小

4值．

解：(1)f(x)＝2sin x＋6cos x

?π?13

＝22?sin x＋cos x?＝22sin?x＋?.

2?2??3??π?2

由f(α)＝2，得sin?α＋?＝，

3?2?

πππ3π

即α＋＝2kπ＋或α＋＝2kπ＋，k∈Z.

3434π5π

于是α＝2kπ－或α＝2kπ＋，k∈Z.

12125π

又α∈[0，π]，故α＝.

12

1

(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝22

2π?π???

sin?2x＋?的图象，再将y＝22sin?2x＋?图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长

3?3???ππ??

度，得到y＝22sin?2x－2θ＋?的图象．由于y＝sin x的图象关于直线x＝kπ＋(k∈Z)对

23??ππ

称，令2x－2θ＋＝kπ＋，

32

kππ

解得x＝＋θ＋，k∈Z.

212

3πkππ3ππ??

由于y＝22sin?2x－2θ＋?的图象关于直线x＝对称，令＋θ＋＝，

421243??kπ2π

解得θ＝－＋，k∈Z.

23

π

由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.

6

[综合题组练]

π

2ωx－?(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1，1．已知函数f(x)＝2sin?4??1]上的单调递增区间为 ( )

13

－，? A.??24?13－，? C.??24?

2π

π

13

－，? B.??24?13－，? D.??44?π

π

解析：选D.由T＝＝，又f(x)的最大值为2，所以＝2，即ω＝，

22ωωωπ??

所以f(x)＝2sin?πx－?.

4??πππ

当2kπ－≤πx－≤2kπ＋，

242

13

即2k－≤x≤2k＋，k∈Z时函数f(x)单调递增，则f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为

44

?－1，3?.

?44?

π7π

2．(2020·杭州市七校联考)已知函数y＝4sin?2x＋?，x∈?0，?的图象与直线y＝m

6?6???有三个交点，其交点的横坐标分别为x1，x2，x3(x1

3π

A. 45πC. 3

4πB. 33πD. 2

π2ππ???7π???

解析：选C.由函数y＝4sin?2x＋??x∈?0，??的图象可得，当x＝和x＝时，函

636???6???数分别取得最大值和最小值，

ππ2π4π

由正弦函数图象的对称性可得x1＋x2＝2×＝，x2＋x3＝2×＝.

6333π4π5π

故x1＋2x2＋x3＝＋＝，故选C.

333

3．已知函数f(x)＝sin ωx－3cos ωx(ω>0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________．

π?π???

解析：因为f(x)＝2sin?ωx－?，方程2sin?ωx－?＝－1在(0，π)上有且只有四个实数

3?3???