《探索与表达规律》典型例题

《探索与表达规律》典型例题

例1 观察下列数表：

1 2 3 4 ……第一行 2 3 4 5 ……第二行 3 4 5 6 ……第三行 4 5 6 7 ……第四行 第 第 第 第 一 二 三 四 列 列 列 列

根据数表所反映的规律，猜想第六行第六列的交叉点上的数是多少？第n行第n列交叉点上的数是多少？

例2 用含n（n为自然数）的等式表示你对下列等式隐含的规律性的估计：

13＝1 13＋23＝9 13＋23＋33＝36 13＋23＋33＋43＝100

… … … …

例3 计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997． 例4 （江西省中考题）

如图用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：

（1）第4个图案中有白色地面砖__________块； （2）第n个图案中有白色地面砖__________块．

例5 下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a?b)n（其中n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a?b)4展开

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式中所缺的系数．

(a?b)?a?b (a?b)2?a2?2ab?b2 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

则(a?b)4?a4?____a3b?6a2b2?4ab3?b4 例6 （广西中考试题）

阅读下列一段话，并解决后面的问题． 观察下面一列数： 1，2，4，8，……

我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2． 一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．

（1）等比数列5，－15，45，……的第4项是________；

（2）如果一列数a1,a2,a3,a4，……是等比数列，且公比为q，那么根据上述的规定，有

aa2a?q,3?q,4?q，…… a1a2a3所以 a2?a1q，

a3?a2q?(a1q)q?a1q2， a4?a3q?(a1q2)q?a1q3， ……

.（用_a1与q的代数式表示） an?_____（3）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．

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参考答案

例1 分析：从左上角到右下角数的排列是1，3，5，7…，所以，第六行第六列的交叉点上的数是11，第n行第n列交叉点上的数是2n?1．

解：第六行第六列的交叉点上的数是11，第n行第n列交叉点上的数是2n?1． 说明：一个偶数可以写成2n形式，一个奇数可以写成2n?1形式，其中n是整数． 例2 分析：等号右边分别是12，32，62，102，…，由1＋2＝3，1＋2＋3＝6猜想左边各底数之和，恰为右边写为幂的形式后的底数，而第四个等式恰与此猜想相符。

解：13?23?33?43???n3?(1?2?3?4???n)2

说明：读者已经在第二章见到过类似的题目，这里得到的结果更具有普遍性。 例3 分析：通过观察可以发现，如果从前开始四个数合为一组，每一组都是连续四个自然数，前两个自然数的和减去后面两个自然数，最后再加上1997，像这样四个数一组共有1996÷4＝499组．

而当我们设每一组第一个数是n时，其中任何组都可以写成：

n?(n?1)?(n?2)?(n?3)??4，由此可求出结果．

解：设其中的一组中最小的数为n，则这一组就可以写成

n?(n?1)?(n?2)?(n?3)??4．

所以1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997＝（－4）×1996÷4＋1997＝1．

说明：（1）这类项很多的式的运算一般都是有规律可循的；（2）当我们设一组中最小数是n时，我们是把每一组四个数看成是正数的加减混合运算；（3）这四个数中任意一个设为n都可以求出相同的结果．

例4 分析：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖（6．．．．＋4）块；第3个图案中有白色地面砖（6＋4×2）块；……由此可推迟出第n个．．图案中有白色地面砖的块数． ．．

解：（1）第4个图案中有白色地面砖： ．．6＋4×3＝18（块）；

（2）第n个图案中有白色地面砖：

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． 6?4(n?1)?4n?2（块）

说明：解答本题的关键在于寻找规律，其方法有多种，下面我们从另一视角去观察：第1个图案中有白色地面砖（4＋2）块；第2个图案中有白色地面砖（4×2＋2）块；第3个图案中有白色地面砖（4×3＋2）块；……由此可推，第4个图案中有白色地面砖（4×＋2＝18）块；第n个图案中有白色地面砖(4n?2)块． 例5 解 由杨辉三角形所给出的部分中，不难发现，下一行第二个数是上一行第一、二两数之和，笼统地讲，下一行中间的数均是上一千该数上方两数之和．由此，可猜测第五行的数字规律为1，4，6，4，1．从而则

(a?b)4?a4?4a3b?6a2b2?4ab3?b4．故横线上应填4．

说明：能过观察题设中所提供的信息，认真分析，找出其中规律是解答这类题的关键所在．

例6 解：（1）－135

（2）a1qn?1

（3）?a2?10,a3?20， ∴q?a3?2 a2又a2?a1q a4?a3q ∴a1?10?5,a4?20?2?40. 2说明：本例呈现的是等比数列通项公式的发现与推理过程，得出公式后，再运用公式计算，考查了考生的自学与理解能力．

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