当前位置：首页 > 高中数学选修2-2推理与证明章末复习总结提升
反思与感悟 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的. 跟踪训练3 数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*). (1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； (2)证明(1)中的猜想.
(1)解 当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1； 3
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝；
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当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝；
4当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4， 15∴a4＝.
8
2n－1
由此猜想an＝n－1(n∈N*).
2
(2)证明 ①当n＝1时，a1＝1，结论成立. ②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立， 2k－1
即ak＝k－1，
2那么n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak ＝2＋ak－ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak.
2k－12＋k－1＋
22＋ak2k1－1
∴ak＋1＝＝＝. 222k所以当n＝k＋1时，结论成立. 2n－1
由①②知猜想an＝n－1(n∈N*)成立.
2
应用反证法证明问题时，因对结论否定不正确致误
例4 已知x，y∈R，且x2＋y2＝0，求证x，y全为0. 错解 假设结论不成立，则x，y全不为0，即x≠0且y≠0，
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∴x2＋y2＞0，与x2＋y2＝0矛盾，故x，y全为0.
错因分析 x，y全为0的否定应为x，y不全为0，即至少有一个不是0，得x2＋y2＞0与已知矛盾.
正解 假设x，y不全为0，则有以下三种可能： ①x＝0，y≠0，得x2＋y2＞0，与x2＋y2＝0矛盾； ②x≠0，y＝0，得x2＋y2＞0, 与x2＋y2＝0矛盾； ③x≠0，y≠0，得x2＋y2＞0，与x2＋y2＝0矛盾. ∴假设是错误的， ∴x，y全为0.
防范措施 应用反证法证明问题时，首先要否定结论，假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，需罗列出各种可能情形，否定一定要彻底.
1.下列推理正确的是( )
A.把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则loga(x＋y)＝logax＋logay B.把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sin x＋sin y C.把(ab)n与(x＋y)n类比，则(x＋y)n＝xn＋yn D.把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则(xy)z＝x(yz) 答案 D
2.在△ABC中，若sin Asin C＞cos Acos C，则△ABC一定是( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案 D
解析 由sin Asin C＞cos Acos C，得cos(A＋C)＜0，即cos B＞0, 所以B为锐角，但并不能确定角A和C的情况，故选D.
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3.猜想数列，，，，…的通项公式是____________________.
2×44×66×88×101
答案 an＝(n∈N*)
2n?2n＋2?
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解析 分析式子，，，，…的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻
2×44×66×88×10的两个偶数的乘积.
4.如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数an＝__________.
B.直角三角形 D.不确定
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答案 3n2－3n＋1
解析 观察知每一个图案中间一行的花盆数为1,3,5，…，其中第n个图案中间一行的花盆n?2n－1＋n?n?3n－1?
数为2n－1，往上一侧花盆数依次是2n－2,2n－3，…，它们的和为＝，
22n?3n－1?n?3n－1?
往下一侧(含中间一行)花盆数为，所以an＝2·－(2n－1)＝3n2－3n＋1.
225.函数列{fn(x)}满足f1(x)＝(1)求f2(x)，f3(x)；
(2)猜想fn(x)的表达式，并证明. 解 (1)f1(x)＝
x
(x＞0)， 1＋x2x
(x＞0)，fn＋1(x)＝f1(fn(x)). 1＋x2f2(x)＝
x1＋x2x
＝， x21＋2x21＋
1＋x2x1＋2x2xx
＝＝. x21＋2x2＋x21＋3x21＋
1＋2x2x*
(n∈N)， 1＋nx2f3(x)＝
(2)猜想fn(x)＝
下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，命题显然成立； ②假设当n＝k(k∈N*)时，fk(x)＝
x1＋kx2 x21＋
1＋kx2x
， 1＋kx2那么fk＋1(x)＝
＝
xx
＝. 1＋kx2＋x21＋?k＋1?x2这就是说当n＝k＋1时命题也成立. 由①②可知，fn(x)＝
x*
2对所有n∈N均成立. 1＋nx
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故fn(x)＝
x*
2(n∈N). 1＋nx
转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化，数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化，反证法体现的是对立与统一的转化.
从特殊到一般的思想方法即由特殊情况入手，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.与正整数n有关的命题，经常要用到归纳猜想，然后用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般的探求规律的思想.
一、选择题
1.古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n个三角形数为( )
A.n C.n2－1 答案 B
解析 观察图形可知，这些三角形数的特点是第n个三角形数是在前一个三角形数的基础上n?n＋1?
加上n，于是第n个三角形数为1＋2＋…＋n＝. 2
2.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案 C
解析 演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断.本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误.
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n?n＋1?
B. 2n?n－1? D.
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