高中数学人教版选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入 复数代数形式的乘除运算

A．3＋3i B．－1＋3i

C．3＋i D．－1＋i

[解析] 因为(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝3＋i，所以选C. [答案] C

2．若a为实数且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2

[解析] 由题意得4a＋(a2－4)i＝－4i，所以4a＝0，a2－4＝－4，解得a＝0.

[答案] B 题型二 共轭复数

－思考：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z，z·z各为何值？ －提示：－z＝a－bi，z·z＝a2＋b2.

1＋2i

(1)若z＝i，则复数－z＝( )

A．－2－i B．－2＋i

C．2－i D．2＋i

(2)已知在复平面内的平行四边形ABCD中，点A，B，C对应的复数分别为4＋i,2＋3i,3－4i，则点D对应的复数是( )

A．6－5i

B．5i

C．5－6i D．－5＋6i

(3)复数z＝1＋i，－z为z的共轭复数，则z－z－z－1＝( ) A．－2i B．－i C．i D．2i

[思路导引] 利用复数除法的运算法则完成(1)(3)问，再由复数与复平面内点的对应关系，完成(2)问．

1＋2i?1＋2i??－i?[解析] (1)z＝i＝＝2－i，则复数－z＝2＋i. 2

－i(2)设点D对应的复数是x＋yi(x，y∈R)，依题意，知A→D＝B→C，

???x－4＝1?x＝5即(1，－7)＝(x－4，y－1)，所以?，解得?，所以

?y－1＝－7???y＝－6

点D对应的复数是5－6i.选C.

(3)依题意得z－z－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.

[答案] (1)D (2)C (3)B

共轭复数的求解与应用

(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出－z，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求－z.

(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和－z的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．

[跟踪训练]

已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数－z＝1－i，求实数a、b使az＋2b－z＝(a＋2z)2.

[解] ∵z＝1＋i，－z＝1－i，∴az＋2b－z＝(a＋2b)＋(a－2b)i， (a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i. ∵a、b都是实数，

∴由az＋2b－z＝(a＋2z)2

，得???a＋2b＝a2＋4a，??

a－2b＝4?a＋2?，

解得???a＝－2，??a＝－??b＝－1 或?4，

??b＝2.

题型三 复数的除法运算

思考：复数除法的运算法则是怎样的？ 提示：分母实数化的原则．

(1)已知i是虚数单位，则复数3－i

2＋i

的共轭复数是( A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i

(2)计算：?1－4i??1＋i?＋2＋4i

3＋4i

.

[思路导引] 分子、分母同时剩分母的共轭复数．

)