2020-2021学年高三数学《函数与导数》高考大题规范练1

&知识就是力量&

令M(x)＝kx－ln(1＋x)－x2，x∈[0，＋∞)，

1－2x2＋?k－2?x＋k－1

则有M′(x)＝k－－2x＝，

1＋xx＋1

?k－2＋?

故当x∈?0，

?

?k－2?2＋8?k－1???时，M′(x)>0， ?4?

2?k－2＋?k－2?＋8?k－1????M(x)在?0，?上单调递增， 4??

故M(x)>M(0)＝0，即|f(x)－g(x)|>x2。 所以满足题意的t不存在。

当k<1时，由(2)知，存在x0>0，使得当x∈(0，x0)时，f(x)>g(x)。 此时|f(x)－g(x)|＝f(x)－g(x)＝ln(1＋x)－kx。 令N(x)＝ln(1＋x)－kx－x2，x∈[0，＋∞)，

1－2x2－?k＋2?x＋1－k则有N′(x)＝－k－2x＝，

x＋1x＋1

?－?k＋2?＋?

当x∈?0，?

?k＋2?2＋8?1－k???

时， ?4?

N′(x)>0，

?－?k＋2?＋?

N(x)在?0，?

?k＋2?2＋8?1－k???

上单调递增，故?4?

N(x)>N(0)＝0，即f(x)－g(x)>x2。

&知识就是力量&

－?k＋2?＋?k＋2?2＋8?1－k?

记x0与中的较小者为x1，则当x4∈(0，x1)时，恒有|f(x)－g(x)|>x2。

故满足题意的t不存在。

当k＝1时，由(1)知，当x>0时，|f(x)－g(x)|＝g(x)－f(x)＝x－ln(1＋x)。

令H(x)＝x－ln(1＋x)－x2，x∈[0，＋∞)， 1－2x2－x则有H′(x)＝1－－2x＝。

1＋xx＋1当x>0时，H′(x)<0，

所以H(x)在[0，＋∞)上单调递减，故H(x)0时，恒有|f(x)－g(x)|

解法二：当k>1时，由(1)知，对于?x∈(0，＋∞)，g(x)>x>f(x)， 故|f(x)－g(x)|＝g(x)－f(x)＝kx－ln(1＋x)>kx－x＝(k－1)x。 令(k－1)x>x2，解得0

从而得到，当k>1时，对于x∈(0，k－1)，

&知识就是力量&

恒有|f(x)－g(x)|>x2， 故满足题意的t不存在。

当k<1时，取k1＝

k＋1

2

，从而k

由(2)知，存在x0>0，使得x∈(0，x0)，f(x)>k1x>kx＝g(x)， 1－k此时|f(x)－g(x)|＝f(x)－g(x)>(k1－k)x＝x。

21－k1－k2令x>x，解得0x2。

22

1－k记x0与的较小者为x1，当x∈(0，x1)时，恒有|f(x)－

2

g(x)|>x2。

故满足题意的t不存在。

当k＝1时，由(1)知，x>0，|f(x)－g(x)|＝f(x)－g(x)＝x－ln(1＋x)。

令M(x)＝x－ln(1＋x)－x2，x∈[0，＋∞)， 1－2x2－x则有M′(x)＝1－－2x＝。

1＋xx＋1

当x>0时，M′(x)<0，所以M(x)在[0，＋∞)上单调递减，故

&知识就是力量&

M(x)

故当x>0时，恒有|f(x)－g(x)|