2019届高考数学一轮复习讲义（理） 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． 2.理解全称量词和存在量词的意义． 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 考情考向分析 逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

p 真 真 假 假

2.全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“?”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“?”表示．

3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

命题名称 全称命题 语言表示 对M中任意一个x，有p(x)成立 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 符号表示 ?x∈M，p(x) 命题的否定 ?x0∈M，?p(x0) q 真 假 真 假 p且q 真 假 假 假 p或q 真 真 真 假 非p 假 假 真 真 特称命题 知识拓展 ?x0∈M，p(x0) ?x∈M，?p(x) 1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真． (2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假． (3)?p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．

2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则?q”，否命题是“若?p，则?q”．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题“3≥2”是真命题．( √ ) (2)命题p和?p不可能都是真命题．( √ )

(3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．( √ ) (4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( × )

(5)命题?(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．( × ) 题组二 教材改编

2．[P18B组]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题?p，?q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( ) A．1 C．3 答案 B

解析 p和q显然都是真命题，所以?p，?q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题． 3．[P28T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是____________________． 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形 题组三 易错自纠

4．已知命题p，q，“?p为真”是“p∧q为假”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 由?p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而?p为假，故“?p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A. 5．(2017·贵阳调研)下列命题中的假命题是( )

B．2 D．4

A．?x0∈R，lg x0＝1 C．?x∈R，x3＞0 答案 C

B．?x0∈R，sin x0＝0 D．?x∈R，2x＞0

解析 当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题； 当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题； 当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；

由指数函数的性质知，?x∈R ，2x＞0，则D为真命题． 故选C.

6．已知命题p：?x∈R，x2－a≥0；命题p：?x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________． 答案 (－∞，－2]

解析 由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.

题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断

1．(2018·济南调研)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是( ) A．p∨q C．(?p)∧(?q) 答案 A

解析 如图所示，

B．p∧q D．p∨(?q)

→→→

若a＝A1A，b＝AB，c＝B1B，则a·c≠0，命题p为假命题；显然命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A.

2．(2017·山东)已知命题p：?x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是( )

A．p∧q C．(?p)∧q 答案 B

B．p∧(?q) D．(?p)∧(?q)

解析 ∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p为真命题，∴?p为假命题．

∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a2＜b2，

∴命题q为假命题，∴?q为真命题．

∴p∧q为假命题，p∧(?q)为真命题，(?p)∧q为假命题，(?p)∧(?q)为假命题． 故选B.

3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题： ①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(?p)∨(?q)为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案 ②

解析 命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．

思维升华 “p∨q”“p∧q”“?p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p、q的真假；

(3)确定“p∧q”“p∨q”“?p”等形式命题的真假． 题型二 含有一个量词的命题

命题点1 全称命题、特称命题的真假 典例 下列四个命题：

p1：?x0∈(0，＋∞)，()x0?()x0； p2：?x0∈(0,1)，log1x0?log1x0；

2312131?x

p3：?x∈(0，＋∞)，??2?＞log1x；

211

0，?，??x＜log1x. p4：?x∈??3??2?3其中真命题是( ) A．p1，p3

B．p1，p4