当前位置：首页 > 第十三章 极限
（2）函数y=f(x)的图象如图所示.
（3）函数在x=1处不连续，这是因为lim?f(x)?2?0?lim?f(x).
x?1x?119.（12分）已知lim求limb?aa?bxxx?1x?1ax?bx?1x?12=3,
x?1的值.
x??解 依题意可知ax2+bx+1中必有x-1这个因式，
?a+b+1=0 又limax?bx?1x?12x?1?lim(x?1)(ax?1)x?1x?1?lim(ax?1)?a?1?3,
x?1?a=4,将a=4代入a+b+1=0，得b=-5，
45?lim(?5)?44?(?5)xxx?1x?1?5?(??limx??)x?1x??4?(?45??5. ?1)x?120.(12分）已知数列{an}中，a2=a+2 (a为常数），Sn是{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项. （1）求a1,a3;
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明； （3）求证：以(an,Snn?1)为坐标的点
Pn（n=1，2，?）都落在同一直线上.
·n，
（1）解 由已知得：Sn=
nan?na2?an?a2当n=1时，S1=a1，则2a1=a1+a,得a1=a. 当n=3时，S3=a1+a2+a3， 则2(a1+a2+a3)=3(a3+a),
?2（a+a+2+a3）=3(a3+a),?a3=a+4. (2)解 由a1=a，a2=a+2，a3=a+4，…， 猜想an=a+2（n-1）.
证明：①当n=1时，左边=a1=a,右边=a+2(1-1)=a,
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则当n=1时，等式成立；
当n=2时，左边=a2=a+2,右边=a+2(2-1)=a+2, 故当n=2时，等式成立.
*
②假设当n=k（k∈N,k≥2）时，等式成立， 即ak=a+2(k-1),则当n=k+1时， ak+1=Sk+1-Sk=
ak?1?a2(k?1)?ak?a2k,
?2ak+1=(ak+1+a)(k+1)-(ak+a)k, ?(k-1)ak+1=kak-a, 由k≥2，得ak+1=
kk?1ak?ak?1,
将ak=a+2(k-1)代入，得 ak+1=
kk?1［a+2(k-1)］-
ak?1
=
(k?1)a?2k(k?1)k?1=a+2［(k+1)-1］,
?当n=k+1时，等式也成立.
由①②可知，对任何正整数n，等式an=a+2(n-1)都成立. （3）证明 当n≥2时，≧an=a+2（n-1） ?Sn=则
SnnSnnan?a2·n=
2a?2(n?1)2·n=（a+n-1）n，
=a+n-1，
S11?(?1)?(?1)=n-1，an-a1=2（n-1）.
(Snn?1)?(S11?1)??
n?12(n?1)an?a1?12.?点Pn（n=1，2，3…）都落在同一直线上.
21.（12分）已知数列{an}的首项a1=1,其前n项和为Sn，且对任何正整数n,有n,an，Sn成等差数列.
（1）求证：数列{Sn+n+2}成等比数列； （2）求数列{an}的通项公式；
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（3）比较an与n2-1的大小，并证明你的结论. （1）证明 ∵n，an，Sn成等差数列，∴2an=n+Sn 又an=Sn-Sn-1(n≥2).
∴2（Sn-Sn-1）=n+Sn，即Sn=2Sn-1+n. ∴Sn+n+2=2Sn-1+2(n+1)=2［Sn-1+(n-1)+2］ 且S1+1+2=4≠0,所以数列{Sn+n+2}成等比数列. （2）解 Sn+n+2=4·2n-1=2n+1，即Sn=2n+1-n-2,
∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-n-2-［2n-(n-1)-2］=2n-1,又a1=1=21-1. 故对任意正整数n,an=2n-1.
（3）解 an=2n-1,令f(n)=n2-1,a1=1,f(1)=0, a1＞f(1),a2=3,f(2)=3,a2=f(2),a3＜f(3),a4=f(4) a5＞f(5).
猜想n≥5时,an＞f(n). 证明如下：
①由上知n=5时猜想成立
②假设n=k（k∈N*,k≥5)时猜想成立，
2
2
即2k-1＞k-1,即2k＞k, 那么2k-1=2·2k-1＞2k-1 ≧k2-1-2k=(k-1)2-2＞0, ?k2+k2-1＞k2+2k=(k+1)2-1
?n=k+1时结论成立.?n∈N*,n≥5时结论成立
+1
2
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?x?1?3?x?1?22.（14分）已知函数f(x)=?b?2ax?2???(x?1)(x?1) (x?1)(1)求limf(x);
x?0(2)若limf(x)存在，求a，b的值；
x?1（3）若函数f(x)在x=1处连续，求a，b所满足的条件. 解 （1）≧x→0时，
3
x?1x?1
的分子、分母都有极限-1，
?limf(x)=1.
x?0(2)若limf(x)存在，则lim?f(x)=lim?f(x),
x?1x?1x?1而lim?f(x)=lim?(ax+2)=a+2.
x?1x?12
lim?f(x)=lim?x?1x?1x?1(3x?1)(x?1)3?limx?1x2?3x?1??32.
x?1?a+2=?a=-1232,
,b可为任意实数.
（3）若f(x)在x=1处连续， 则lim?f(x)=lim?f(x)=f(1),
x?1x?1则a=-
12,b=
32.
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