当前位置：首页 > 第十三章 极限
同理f(4a)=0. ②
由①②可知f(x)必含有因式(x-2a)与(x-4a)， 由于f(x)是x的三次多项式，故可设
f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C)(A,C为待定常数). 由limf(x)x?2a=1,
x?2a得limA(x?2a)(x?4a)(x?C)
x?2ax?2a=limA(x-4a)(x-C)=1,
x?2a得A(2a-4a)(2a-C)=1,
即4a2A-2aCA=-1. 同理，由limf(x)1,x?4a?
x?4a得A(4a-2a)(4a-C)=1,即8a2A-2aCA=1. 由③④得C=3a,A=12a2.
因而f(x)=
12a2(x-2a)(x-4a)(x-3a).
?limf(x)1x?3ax?3a?lim2a2(x-2a)(x-4a) x?3a=
12a2·a·（-a）=-
12.
章末检测十三一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.（2009·北京东城测试）limx?2x?2x2?6x?8的值为 A.0 B.1 C.-12答案C 2.下列命题中： ①如果f(x)=
1,那么3limxx??f(x)=0
29
④ （ ）D.13
③
②如果f(x)=
1x，那么limf(x)=0
x??③如果f(x)=
x?3xx?3??x??x?22,那么limf(x)不存在
x??3④如果f(x)=?(x?0)(x?0),那么limf（x）=0
x?0其中错误命题的个数是 （ A.0 B.1 C.2 D.3
答案D 3.（2009·阳泉模拟）lim1?2?3???n等于 n??n2A.2 B.1 C.12 答案C
?x2?24.已知函数f（x）=?x?3?x?1(x?1)在点x=1处连续，则a的值是 ??ax?1(x?1)A.2 B.-2 C.3 答案C
5.（2009·蚌埠模拟）若lim(a)x?11?x?b1?x2=1，则常数a,b的值为 A.a=-2,b=-4 C.a=-2,b=4 答案A
0242n6.（2009·天津六县区联考）limC2n?C2n?C2n??C2n1?4n等于 n??A.-1 B.-12 C.-14 答案B 7.设f(n)=1+
112+
3+?+
13n?1
（n∈N*），那么f(n+1)-f(n)等于 A.13n?2 B.1?13n3n?1 30
D.0
D.-4B.a=2,b=-4D.a=2,b=4D.0 ）
（ ）
（ ）
）
（ ）
（
（
C.
13n?1?13n?2 D.
13n?13n?1?13n?2
答案D 8.lim(n??1n?1?2n?1?3n?1???2n?1n?1?2nn?1)的值为 （ ）
12A.-1 B.0 C. D.1
答案A
9.设正数a,b满足lim（x+ax-b）=4,则limx?22
an?1n?1?abn?1nn??a?2b等于 （ ）
12A.0 B.
14 C. D.1
答案B
10.数列{an}中a1=2，且an=
12（an-1+
3an?1）（n≥2），若liman存在，则liman等于 （ ）
n??n??A.3 B.-3 C.±3 D.6
答案A
11.若(1+5x2)n的展开式中各项系数之和是an,(2x3+5)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn,则liman?2bn3an?4bn的值
n??为 （ ） A.-23 B.-
12 C.
12 D.
13
答案D
12.数列{an}中，有lim［（5n+2）an］=2,并有liman存在，则lim(nan)的值为 （ ）
n??n??n??A.0 B.2 C.
25 D.不存在
答案C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13.（2008·陕西理，13）limn??答案 1 14.设常数a＞0,(ax2?答案 1 15.lim(x??)cosxx?x??(1?a)n?1n?a=2，则a= .
1x)展开式中x的系数为
43
32,则lim(a+a2+?+an)= .
n???= . 31
答案 -2? 16.以下五个命题： ①f（x）=
1x在［0，1］上连续；
②若f（x）是（a，b）内的连续函数，则f（x）在（a，b）内有最大值和最小值； ③limx11; x???lim1?x2x???1x2?1④lim2sin2xx???4.
2cosx其中，正确命题的序号是 .（请把你认为正确的命题的序号都填上） 答案 ④
三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17.（12分）求下列函数的极限： （1）lim??111n???2?5?5?8?18?11????(3n?1)(3n?2)?;
?(2)limcosx?sinx.
x??4cos2x解 (1) lim?111n????2?5?5?8?18?11????(3n?1)(3n?2)?
?=lim?1?1111111n????3?(?2?5)?(5?8)?(8?11)???(3n?1?13n?2)???111?????lim??(?)?323n?2? n???=lim??11?n???3(3n?2)??16.
?6?(2)limcosx?sinx?limcosx?sinx12x??4cos2xx??24cos2x?sinx?limx??cosx?sinx?42.
18.（12分）设f(x)=lim1?x.
n??1?x2n(1)求f(x)的定义域与表达式；
（2）作y=f(x)的图象； （3）指出f(x)的间断点.
?1?x,x?(?1,1),?解 (1)f(x)=?0,x??1,??1,x?1,
??0,x?(??,?1)?(1,??),?1?x,x?(?1.1),即f(x)=??1,x?1,
??0,x????,?1??(1,??)f(x)的定义域为R.
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