当前位置：首页 > 第十三章 极限
当n=4时，
1b4=
812,S5=25,?＞Sn+1.
1b4＞S5.
猜想：n≥4时，
1bn下面用数学归纳法证明： ①当n=4时，已证.
②假设当n=k (k∈N*,k≥4)时，
3k1bk＞Sk+1,
即
2＞(k+1)2. 9分
那么,n=k+1时，
1bk?12
?3k?12=3·
3k2＞3(k+1)2=3k2+6k+3
=(k+4k+4)+2k+2k-1＞［(k+1)+1］
22
=S(k+1)+1, ?n=k+1时，
1bn＞Sn+1也成立. 11分
1bn由①②可知n∈N*,n≥4时，综上所述，当n=1,2,3时，
1bn1bn＞Sn+1都成立.
＜Sn+1,
12分
当n≥4时，＞Sn+1.
1.用数学归纳法证明： n∈N*时，1-12?13?14+?+
12n?1?12n?1n?111?1?1n?2+?+
12n.
证明 （1）当n=1时，左边=1-?等式成立.
12=
12==右边，
（2）假设当n=k(k≥1,k∈N*)时，等式成立，即 1-12?13?14+…+
12k?112?12k13?12k14=
1k?1?1k?2+…+
12k.
12k?2则当n=k+1时,1-1k?11k?2?+…+
112k?112k?2?12k?12k?1?
=?+…+?2k?1?
5
==
1k?1?1?1k?1?2???12k?12k?1?(1k?1?12k?2)
1k?1?1?1k?1?2???12k?12k?1?12(k?1).
即当n=k+1时，等式也成立，
*
所以由（1）（2）知对任意的n∈N等式成立. 2.求证：二项式x2n-y2n(n∈N*)能被x+y整除.
证明 （1）当n=1时，x2-y2=(x+y)(x-y),
能被x+y整除，命题成立.
（2）假设n=k（k≥1，k∈N*）时，x2k-y2k能被x+y整除，
那么当n=k+1时， x2k+2-y2k+2=x2·x2k-y2·y2k
=x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k =x(xk-yk)+yk(x-y), 显然xk-yk能被x+y整除，
2+2
2+2
2
2
2
2
2
2
即当n=k+1时命题成立.
由（1）（2）知，对任意的正整数n命题均成立.
3.已知m为正整数.
用数学归纳法证明：当x＞-1时，(1+x)m≥1+mx. 证明 （1）当m=1时，原不等式成立； 当m=2时，左边=1+2x+x2,右边=1+2x, 因为x≥0,所以左边≥右边，原不等式成立；
*
2
（2）假设当m=k(k≥1,k∈N)时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx,则当m=k+1时，≧x＞-1,?1+x＞0.于是在
2
不等式(1+x)k≥1+kx两边同时乘以1+x得(1+x)k·（1+x）≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx≥1+(k+1)x.
6
所以(1+x)k+1≥1+(k+1)x,
即当m=k+1时，不等式也成立.
综合（1）（2）知，对一切正整数m,不等式都成立.
2
*
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=nan（n∈N）. （1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式； （2）证明你的猜想，并求出an的表达式.
（1）解 ≧an=Sn-Sn-1（n≥2）,?Sn=n2 (Sn-Sn-1), ?Sn=
n22n?1Sn-1(n≥2),
43≧a1=1,S1=1，S2=猜想Sn=
2nn?1，S3=
32?64，S4=
85，
（n∈N*）.
（2）证明 ①当n=1时，S1=1成立.
②假设n=k （k≥1,k∈N*）时，等式成立，即Sk=当n=k+1时，
Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+?ak+1=
2(k?2)(k?1)2kk?12kk?1，
，
，
2(k?1)k?22(k?1)(k?1)?1?Sk+1=（k+1）2·ak+1=
?，
?n=k+1时等式也成立，得证.
?根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立. 又≧ak+1=
2(k?2)(k?1)，?an=
2n(n?1).
一、选择题 1.用数学归纳法证明：“
1n?1?1n?213n?1+?+≥1,(n∈N)”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应
*
7
是 A.1 B.C.
121312?13?14 （ ）
? D.以上都不是
答案B
2.如果命题P（n）对于n=k (k∈N*)时成立，则它对n=k+2也成立，又若P（n）对于n=2时成立，则下列结论正确的是
（ ）
A.P（n)对所有正整数n成立 B.P(n)对所有正偶数n成立
C.P（n）对所有正奇数n成立 D.P（n)对所有大于1的正整数n成立 答案B
3.利用数学归纳法证明“不等式1+
12?13
+?+
12?1n＜n(n≥2，n∈N*)”的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增
（ ）
加了
A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项
答案D
4.用数学归纳法证明“2n＞n2+1对于n＞n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 （ ） A.2 B.3 C.5 D.6
答案C
5.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需 展开
（ ）
A.（k+3）3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 答案A 6.证明“
n?22＜1+
12?13?14+?+
1212n＜n+1(n＞1)，当n=2时，中间式子等于
12
13
14( ）
A.1 B.1+ C.1+? D.1+
12?13?
答案D
8
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