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第十三章 极限
§13.1 数学归纳法及其应用
基础自测
1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+?+an+1=
1?an?21?a (a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项为（ ）
A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 答案C
2.如果命题P（n）对n= k成立，则它对n=k+1也成立，现已知P（n）对n=4不成立，则下列结论正确的 是 （ ） A.P（n）对n∈N*成立 B.P(n)对n＞4且n∈N*成立 C.P（n）对n＜4且n∈N成立 D.P（n）对n≤4且n∈N不成立 答案D
3.用数学归纳法证明1+2+3+?+n2=
n?n242*
*
，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上 （ ）
A.k2+1 B.(k+1)2 C.
（k?1)?(k?1)242
D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+?+（k+1）2
答案D 4.已知f(n)=
1n+
1n?1?1n?2+?+
1n2，则 （ ）
12
13
A.f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)=?
1
B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)=
12
?12
13?12
+
13?
14
C.f(n)中共有n2-n项，当n=2时，f(2)=
13
D.f(n)中共有n2-n+1项，当n=2时，f(2)= +
14
答案D
5.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时，正确的证法是（ ） A.假设n=k(k∈N*),证明n=k+1命题成立
B.假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+1命题成立 C.假设n=2k+1 (k∈N*)，证明n=k+1命题成立
D.假设n=k(k是正奇数)，证明n=k+2命题成立
答案D
例1用数学归纳法证明:
n?N*时，
11?3?13?5??+
1(2n?1)(2n?1)?n2n?1.
证明 （1）当n=1时,左边=11?3?1,3
右边=
12?1?1,?13左边=右边,
所以等式成立.
（2）假设n=k (k∈N*
)时等式成立,即有
1?k1?3?13?5…+
1(2k?1)(2k?1)?2k?1,
则当n=k+1时,
111?3?3?5?…+
1(2k?1)(2k?1)?1(2k?1)(2k?3)
=
k12k?1?(2k?1)(2k?3)?k(2k?3)?1(2k?1)(2k?3)
2=
2k?3k?1?k?1k?1(2k?1)(2k?3)2k?3?2(k?1)?1,
所以当n=k+1时,等式也成立.
2
由（1）（2）可知,对一切n∈N*等式都成立.
例2 试证:当n为正整数时，f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.
证明 方法一 （1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64, 命题显然成立.
（2）假设当n=k(k≥1,k∈N*)时， f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.
由于32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1) 即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)
?n=k+1时命题也成立.
根据（1）（2）可知，对任意的n∈N*，命题都成立. 方法二 （1）当n=1时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立. （2）假设当n=k (k≥1,k∈N*)时，f(k)=32k+2-8k-9能被64整除.
由归纳假设，设32k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数)，将32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得
f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1), ?n=k+1时命题成立.
根据（1）（2）可知，对任意的n∈N*，命题都成立.
131512n?1例3 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式（1+
均成立.
证明 （1）当n=2时，左边=1+?
31
43
）（1+）?（1+）＞
2n?12
；右边=
52.
≧左边＞右边，?不等式成立.
（2）假设n=k (k≥2,且k∈N*)时不等式成立， 即（1+
13）（1+
15）?(1+
12k?1)＞
2k?12则当n=k+1时，
??1（1+）（1+）?（1+）?1???352k?12(k?1)?1??1112k?12k?22k?2 ·??22k?122k?14k?8k?422k?12
3
＞
4k?8k?322k?12?2k?32k?1?2(k?1)?12.
22k?1?当n=k+1时，不等式也成立.
由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等式都成立.
2
例4 （12分）已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2,a5是方程x-12x+27=0的两根，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=1-12bn.
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，试比较1与Sbn+1的大小，并说明理由.
n解 （1）由已知得??a2?a5?12?a2a
5?27,又≧{an}的公差大于0，?a5＞a2,?a2=3,a5=9. ?d=
a5?a29?33?3=2，a1=1. 2≧Tb2n=1-
12n，?b1=
3，当n≥2时，Tn-1=1-12bn-1,
?b-T11n=Tnn-1=1-2bn-（1-2bn-1）,
化简，得bn=
13bn-1, 5?{b是首项为21n}3,公比为
3的等比数列，
即b2·（
1-12n=
33）n=
3n,
?a=2n-1，b2nn=3n. 6(2)≧Sn=
1?(2n?1)2n=n2,
?Sn=（n+1）2
，1?3n+1bn2.
以下比较
1b与Sn+1的大小：
n当n=1时，13b? n2，S2=4，?
1b＜S2,1当n=2时，1b?9,S13=9,?
22b＜S3, 2当n=3时，
1271b=
S4=16,?
＜S4,
32,b3 4
分
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