高三二轮复习数学（人教A版）课时作业 专题4 立体几何 第2讲

专题四 第二讲

一、选择题

1．(2013·德阳市二诊)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若已知m⊥n，m⊥α，则“n⊥β”是“α⊥β”的( )

A．充分非必要条件 C．充要条件 [答案] A

B．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件

[解析]

m⊥α??

??n∥α或n?α

? m⊥n??α⊥β.

n⊥β

?

??

α⊥β??

??m∥β或m?β

?m⊥α??/ n⊥β.

m⊥n

?

??

2．(2014·重庆理，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A．54 C．66 [答案] B [解析] 如图所示

B．60 D．72

该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，直三棱柱底面是直角三角形，两直角边长为3和4，柱高为5，∵EF∥AC，AC⊥平面ABDF，∴EF⊥平面ABDF，∴EF⊥DF，在直角梯形ABDF中，易得DF＝5，故其表面积为S＝SRt△ABC＋S矩形ACEF＋S梯形ABDF＋S梯形BCED＋SRt△DEF＝

3×4?5＋2?×4?2＋5?×53×5

＋3×5＋＋＋＝60. 2222

3．(文)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n为两条不同的直线．给出下列命题：

- 1 -

①若n∥m，m?α，则n∥α； ②若α∥β，n?β，n∥α，则n∥β； ③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ； ④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β. 其中真命题是( ) A．①和② C．②和④ [答案] C

[解析] 若n∥m，m?α，则n∥α或n?α，即命题①不正确，排除A、B；若α∥β，n?β，n∥α，则n∥β，则命题②正确，排除D，故应选C.

(理)已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β [答案] C

[解析] 对于选项A，m，n有可能平行也有可能异面；对于选项B，n有可能在平面α内，所以n与平面α不一定平行；对于选项D，m与β的位置关系可能是m?β，m∥β，也可能m与β相交．由n⊥β，α⊥β得，n∥α或n?α，又m⊥α，∴m⊥n，故C正确．

4．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，△AED、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )

B．①和③ D．③和④

A.2 C.11

2

B.D.6 25 2

[答案] B

[解析] 由条件知A′E、A′F、A′D两两互相垂直，以A′为一个顶点，A′E、A′F、A′D为三条棱构造长方体，则长方体的对角线为四面体外接球的直径，∵A′E＝A′F＝1，

- 2 -

A′D＝2，∴(2R)2＝12＋12＋22＝6，∴R＝6. 2

5．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 [答案] B

[解析] ①过A、C作BD的垂线AE、CF，∵AB与BC不相等，∴E与F不重合，在空间图(2)中，若AC⊥BD，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，这样在平面BCD内，过点C有两条直线CE、CF都与BD垂直矛盾，∴A错；②若AB⊥CD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，∵ABAB，这样的△ABC不存在，∴C错误．

6．(文)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为( )

A．2 C.2 [答案] D

[解析] 本题考查了正四棱柱的性质，点到直线距离的求解．连接AC、BD，AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥AC1.则点C到平面BDE的距离等于AC1到平面BDE的距离，过C作CH⊥OE于H，CH为所求．在△EOC中，EC＝2，CO＝2，所以CH＝1.本题解答体现了转化与化归的思想，注意等积法的使用．

(理)已知四棱锥P－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点E是侧棱PB的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为( )

1A. 3C.3 3

B.2 3B.3 D．1

2D. 3

[答案] C

- 3 -

[解析] 设AC与BD的交点为O，∵棱锥的各棱长都相等，

∴O为BD中点，∴EO∥PD，∴∠AEO为异面直线AE与PD所成的角，设棱长为1，则AO＝

213OE3，EO＝，AE＝，∵AO2＋EO2＝AE2，∴cos∠AEO＝＝. 222AE3

二、填空题

7．a、b表示直线，α、β、γ表示平面． ①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，则α⊥β；

②若a?α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β； ③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；

④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线； ⑤若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β. 其中为真命题的是__________． [答案] ②⑤

[解析] 对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；④对a需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．所只有②⑤是正确的．

8．已知三棱柱ABC－A1B1C1底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．

[答案] 33

[解析] 4πR2＝12π，∴R＝3，△ABC外接圆半径r＝2，∴柱高h＝2R2－r2＝2，∴体积V＝

3

×(6)2×2＝33. 4

例只以

9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，则四棱锥P－ABCD的外接球半径R的取值范围是______________．

33

[答案] ?，?

?42?

[解析] 当P为A1C1的中点时，设球半径为R，球心到底面ABCD距离为h，则

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