高三数学一轮复习课时作业7：专题四 高考中的立体几何问题

高三数学一轮复习

6．(1)证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD． 又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.

取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO. 又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC， 所以∠DOB为二面角D－AC－B的平面角． 在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，

又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2， 故∠BOD＝90°.所以平面ACD⊥平面ABC．

→

(2)解：由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方→

向，|OA|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)．

1

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D

21

到平面ABCD的距离的，

2即E为DB的中点，得E?0，

?

31?，， 22?31→→→

故AD＝(－1,0,1)，AC＝(－2,0,0)，AE＝?－1，，?.

22??设n＝(x，y，z)是平面DAE的法向量，

－x＋z＝0，→????n·AD＝0，3则?即?可取n＝?1，，1?. 313??→－x＋y＋z＝0，???n·AE＝0，22?→??m·AC＝0，设m是平面AEC的法向量，则?

→??m·AE＝0，

7n·m

同理可取m＝(0，－1，3)，则cos〈n，m〉＝＝.

|n||m|7所以二面角D－AE－C的余弦值为7. 7

9