北京市东城区2018-2019第一学期高三期末数学理科(含解析)

2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（ ）

A. B. C. D. 2. 下列复数为纯虚数的是（ ）

A.

B.

C.

D.

3.

下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）

A.

B.

C.

D.

4.

执行如图所示的程序框图，如果输入n=5，m=3，则输出p的等于（ ）

A. 3

B. 12

C. 60 D. 360

5.

“

”是“函数

的图象关于直线x=m对称”的（ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

6.

某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度 为（ ） A. 2 B. C. D. 3

）

7. 8. 在极坐标系中，下列方程为圆ρ=2sinθ的切线方程的是（ ） A. B. C. D.

地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则 的值

所在的区间为（ ） A. B. C. 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9.

x+2y的最小值为______． 若x，y满足 ，则

D.

10. 已知双曲线-

=1的一个焦点为（2 ，0），则m=______．

b1=2，a3+b2=-1，11. 若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=-1，试写出一组满足条件的数列{an}和{bn}的通项公式：

an=______，bn=______．

的值为______． 12. 在菱形ABCD中，若 ，则 13. 函数 在区间 ， 上的最大值为______． 14. 已知函数f（x）为定义域为R，设Ff（x）= ．

①若f（x）=

a-|x|

，则Ff（1）=______；

②若f（x）=e-1，且对任意x∈R，Ff（x）=f（x），则实数a的取值范围为______．

三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 在△ABC中， ．

（Ⅰ）求∠B的大小；

2

（Ⅱ）若△ABC的面积为a，求cosA的值．

16. 某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外

阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；

（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；

（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．

17. 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE=EF， ．将四边

形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点． （Ⅰ）证明：AC⊥EG；

（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求 的值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求二面角D-AC-F的大小．

x2

18. 已知函数f（x）=axe-x-2x．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．

19. 已知椭圆 ：

过点P（2，1）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；

（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．

*

20. 对给定的d∈N，记由数列构成的集合 ， ， ∈ ．

（Ⅰ）若数列{an}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；

（Ⅱ）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{an}，整数k不是数列{an}

中的项；

（Ⅲ）已知数列{an}，{bn}∈Ω（d），记{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn．若|an+1|≤|bn+1|，求证：An≤Bn．